จงแก้อสมการประกอบ 8 < 60(1 + x)/7 < 7

Step-by-step solution

1. 1

   อ่านข้อความให้เข้าใจก่อนจะจัดกระทำ อสมการสามส่วน $L<E<R$ บอกว่านิพจน์ $E$ มากกว่า $L$ และน้อยกว่า $R$ พร้อมกัน ในที่นี้ $L=8$ และ $R=7$ จึงเรียกร้องจำนวนที่มากกว่า $8$ และ น้อยกว่า $7$ ในเวลาเดียวกัน เนื่องจาก $8>7$ จึงไม่มีจำนวนเช่นนั้น คำตอบมองเห็นได้ตั้งแต่ยังไม่คิดเลข

2. 2

   ยืนยันด้วยการลงมือคิดพีชคณิตดูก็ได้ คูณทั้งสามส่วนด้วย $7$ (เป็นบวก ทิศทางจึงคงเดิม)

   $56<60(1+x)<49$

   ขอบที่กลับด้านยังคงกลับด้านอยู่ ซึ่งต้องเป็นเช่นนั้น เพราะไม่มีการดำเนินการที่ถูกกฎข้อใดซ่อมข้อความที่ขัดแย้งในตัวเองได้

3. 3

   หารทั้งสามส่วนด้วย 60 อีกครั้งที่ $60>0$

   $\frac{56}{60}<1+x<\frac{49}{60},\qquad\text{นั่นคือ}\qquad \frac{14}{15}<1+x<\frac{49}{60}$

4. 4

   ลบ 1 ออกจากทั้งสามส่วน

   $\frac{14}{15}-1<x<\frac{49}{60}-1\qquad\Longrightarrow\qquad -\frac{1}{15}<x<-\frac{11}{60}$

5. 5

   เทียบขอบทั้งสองบนตัวส่วนร่วม เขียน $-\tfrac{1}{15}=-\tfrac{4}{60}$ เงื่อนไขจะอ่านได้ว่า

   $-\frac{4}{60}<x<-\frac{11}{60}$

   แต่ $-\tfrac{4}{60}>-\tfrac{11}{60}$ ขอบล่างจึงมากกว่าขอบบน ช่วงนี้เป็นเซตว่าง

6. 6

   สรุปข้อสรุป เซตคำตอบคือ $\varnothing$ นั่นคือ ไม่มีจำนวนจริงใดสอดคล้องกับอสมการนี้ การไล่สแกนค่า $x$ จำนวน $200{,}001$ ค่าตั้งแต่ $-100$ ถึง $100$ ยืนยันว่าไม่มีค่าใดเลยที่ทำให้ $\frac{60(1+x)}{7}$ มากกว่า $8$ และน้อยกว่า $7$ พร้อมกัน ✓ ลองเทียบกับรุ่นที่ตั้งโจทย์ถูกอย่าง $8<\frac{60(1+x)}{7}<9$ ซึ่งมีคำตอบ $-\tfrac{1}{15}<x<\tfrac{1}{20}$ เป็นช่วงที่ไม่เป็นเซตว่างจริง ๆ