จงแก้อสมการ 5a² + 4a − 12 > 0

Step-by-step solution

1. 1

   หารากของสมการที่เกี่ยวข้อง แก้ $5a^2+4a-12=0$ ด้วยสูตรกำลังสอง โดยมีสัมประสิทธิ์ของ $a$ เป็น $5$, $4$, $-12$

   $\Delta=4^2-4(5)(-12)=16+240=256$

2. 2

   ใช้ประโยชน์จากกำลังสองสมบูรณ์ $\sqrt{256}=16$ รากจึงเป็นจำนวนตรรกยะ

   $a=\frac{-4\pm 16}{10}\quad\Longrightarrow\quad a=\frac{12}{10}=\frac{6}{5}\ \text{หรือ}\ a=\frac{-20}{10}=-2$

   หรือเขียนได้ว่า $5a^2+4a-12=(5a-6)(a+2)$

3. 3

   ใช้ทิศทางการหงายของพาราโบลา สัมประสิทธิ์นำ $5$ เป็นบวก พาราโบลาจึงหงายขึ้น นิพจน์นี้จึงเป็นบวกนอกช่วงระหว่างรากทั้งสอง และเป็นลบระหว่างราก

4. 4

   เรียงลำดับรากแล้วเขียนคำตอบ เนื่องจาก $-2<\tfrac65$

   $a<-2\quad\text{หรือ}\quad a>\frac{6}{5},\qquad\text{นั่นคือ }(-\infty,-2)\cup\left(\tfrac65,\infty\right)$

5. 5

   ตรวจช่วงละหนึ่งค่า ที่ $a=-3$ ได้ $45-12-12=21>0$ $\checkmark$ ที่ $a=0$ ได้ $-12>0$ เป็นเท็จ $\checkmark$ ที่ $a=2$ ได้ $20+8-12=16>0$ $\checkmark$ ที่ $a=\tfrac65$ ได้ $5\cdot\tfrac{36}{25}+\tfrac{24}{5}-12=\tfrac{36}{5}+\tfrac{24}{5}-12=0$ ซึ่งถูกตัดออกอย่างถูกต้องโดยอสมการแบบเข้ม