แก้อสมการ 3ˣ > 500001x

Step-by-step solution

1. 1

   เปลี่ยนให้เป็นคำถามเรื่องเครื่องหมายของฟังก์ชันเดียว กำหนด

   $f(x)=3^x-500001x$

   แล้วหาว่าที่ไหน $f(x)>0$ วิธีนี้ดีกว่าการเทียบกราฟสองเส้นด้วยสายตา เพราะ $f$ มีโครงสร้างที่เราตรึงได้อย่างแน่นอน

2. 2

   แสดงว่า $f$ เป็นคอนเวกซ์ จึงมีรากไม่เกินสองราก

   $f'(x)=3^x\ln 3-500001,\qquad f''(x)=3^x(\ln 3)^2>0$

   ฟังก์ชันคอนเวกซ์อย่างเข้มจะลดลงก่อนแล้วเพิ่มขึ้น ตัดศูนย์ได้ไม่เกินสองครั้ง ค่าต่ำสุดอยู่ที่ $f'=0$:

   $3^x=\frac{500001}{\ln 3}\approx 455121\quad\Longrightarrow\quad x=\log_3(455121)\approx 11.86$

3. 3

   จัดการฝั่งซ้ายได้ฟรี ๆ เมื่อ $x\le 0$ ข้างซ้าย $3^x$ เป็นบวก ขณะที่ $500001x\le 0$ อสมการจึงเป็นจริงโดยอัตโนมัติ ที่ $x=0$ อ่านได้ว่า $1>0$ $\checkmark$ รากแรกจึงต้องอยู่ทางขวาของ $0$ เพียงเล็กน้อย

4. 4

   หารากตัวเล็ก ใกล้ ๆ $0$ ค่า $3^x\approx 1$ จุดตัดจึงอยู่ใกล้ $x\approx\tfrac{1}{500001}$ การแบ่งครึ่งช่วง $f$ บน $\left[10^{-12},0.5\right]$ ให้

   $x_1\approx 2.0000004\times 10^{-6}$

   และ $f$ เป็นบวกทางซ้ายของจุดนั้น เป็นลบทางขวา

5. 5

   หารากตัวใหญ่ด้วยการขังช่วง $f(12)=531441-6000012<0$ และ $f(16)=43046721-8000016>0$ จุดตัดที่สองจึงอยู่ใน $(12,16)$ การแบ่งครึ่งช่วงให้

   $x_2\approx 14.3704368$

   ตรวจ: $3^{14.3704368}\approx 7.1853\times 10^{6}$ และ $500001\times 14.3704368\approx 7.1853\times 10^{6}$ ตรงกันถึงหกหลัก $\checkmark$ (ค่าอย่าง $14.546$ ไม่ใช่ราก เพราะที่จุดนั้น $3^x\approx 8.714\times 10^6$ เทียบกับ $7.273\times 10^6$ ห่างกันราว $1.44\times 10^6$)

6. 6

   ประกอบเซตคำตอบ $f>0$ อยู่นอกรากทั้งสอง:

   $x<2.0000004\times 10^{-6}\quad\text{หรือ}\quad x>14.3704368$

   สุ่มตรวจตรงกลาง: ที่ $x=1$ ได้ $3<500001$ อสมการจึงเป็นเท็จอย่างถูกต้อง $\checkmark$