จงแก้สมการ log ฐาน 3 ของ (2x^2 + 13x + 23) หารด้วย log ฐาน 3 ของ (x + 5) เท่ากับ 1 แล้วหาผลบวกของราก

Step-by-step solution

1. 1

   เขียนโดเมนออกมาก่อน เพราะตัวส่วนซ่อนเงื่อนไขไว้สองข้อ อาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมทั้งสองต้องเป็นบวก และตัวส่วนต้องไม่เป็นศูนย์

   $x+5>0,\qquad \log_3(x+5)\neq 0\ \Rightarrow\ x+5\neq 1,\qquad 2x^2+13x+23>0.$

   สองข้อแรกให้ $x>-5$ และ $x\neq -4$

2. 2

   ตรวจอาร์กิวเมนต์ที่เป็นพหุนามกำลังสองแยกต่างหาก ซึ่งกลายเป็นว่าไม่มีข้อจำกัดเลย ดิสคริมิแนนต์ของมันคือ

   $D=13^2-4\cdot 2\cdot 23=169-184=-15<0,$

   และสัมประสิทธิ์นำเป็นบวก ดังนั้น $2x^2+13x+23>0$ สำหรับ $x$ จำนวนจริงทุกค่า เงื่อนไขนี้จึงไม่เพิ่มอะไร โดเมนคือ $x>-5$, $x\neq-4$ เท่านั้น

3. 3

   มองผลหารของลอการิทึมให้ออกว่าเป็นการเปลี่ยนฐาน เนื่องจาก $\dfrac{\log_3 A}{\log_3 B}=\log_B A$ สมการจึงบอกว่า

   $\log_{x+5}\left(2x^2+13x+23\right)=1.$

   ลอการิทึมเท่ากับ $1$ ก็ต่อเมื่ออาร์กิวเมนต์เท่ากับฐานพอดี นี่คือเหตุผลที่เราถอดลอการิทึมทิ้งได้เลย แทนที่จะต้องยกกำลังสองรอบ

4. 4

   แก้สมการกำลังสองที่ได้ ให้อาร์กิวเมนต์เท่ากับฐาน

   $2x^2+13x+23=x+5\ \Longrightarrow\ 2x^2+12x+18=0\ \Longrightarrow\ x^2+6x+9=0\ \Longrightarrow\ (x+3)^2=0,$

   ดังนั้น $x=-3$ เป็นรากซ้ำของสมการกำลังสอง

5. 5

   ตรวจคำตอบและรวมผลบวกของราก $x=-3$ สอดคล้องกับ $x>-5$ และ $x\neq-4$ และเมื่อแทนกลับได้ $\log_3 2/\log_3 2=1$ จึงเป็นรากจริง แม้สมการกำลังสองจะมี $x=-3$ สองครั้ง แต่สมการเดิมมีรากเพียงรากเดียว ผลบวกของรากจึงเป็น

   $-3.$