ฟังก์ชันกำลังสอง f มี f(x) <= 0 พอดีบนช่วง -1 <= x <= 5 และมีค่าต่ำสุดเท่ากับ -18 จงแก้อสมการ f(x) <= 6

Step-by-step solution

1. 1

   อ่านรากและทิศทางการเปิดออกจากเซตคำตอบได้ทันที $f(x)\le0$ เป็นจริงบนช่วงปิดและจำกัดพอดี $f$ จึงเป็นศูนย์ที่จุดปลายและเป็นลบเฉพาะระหว่างจุดปลายทั้งสอง นั่นแปลว่า $-1$ กับ $5$ เป็นรากทั้งสอง และพาราโบลาเปิด ขึ้น (ถ้าเปิดลง เซตคำตอบของ $f\le0$ จะเป็นรังสีสองเส้นด้านนอกแทน) ดังนั้น

   $f(x)=a(x+1)(x-5),\qquad a>0.$

2. 2

   ใช้สมมาตรหาจุดยอดโดยไม่ต้องทำกำลังสองสมบูรณ์ สำหรับพาราโบลาที่เปิดขึ้น ค่าต่ำสุดอยู่กึ่งกลางระหว่างราก

   $x_{\text{vertex}}=\frac{-1+5}{2}=2.$

   นี่เป็นที่เดียวที่ค่าต่ำสุดตามที่โจทย์บอกจะเกิดขึ้นได้

3. 3

   เปลี่ยนค่าต่ำสุดให้เป็นสมการสำหรับ $a$

   $f(2)=a(2+1)(2-5)=-9a$

   $-9a=-18\quad\Longrightarrow\quad a=2$

   การตรวจเครื่องหมายผ่าน เพราะ $a=2>0$ สอดคล้องกับการเปิดขึ้นที่สรุปไว้ในขั้นที่ 1 ดังนั้น

   $f(x)=2(x+1)(x-5)=2x^2-8x-10.$

4. 4

   แก้ $f(x)\le 6$ ย้ายทุกอย่างไปข้างเดียวกันแล้วหารด้วยสัมประสิทธิ์นำที่เป็นบวก (การหารด้วยจำนวนบวกไม่ทำให้อสมการกลับด้าน)

   $2x^2-8x-10\le6\;\Longrightarrow\;2x^2-8x-16\le0\;\Longrightarrow\;x^2-4x-8\le0.$

5. 5

   หารากของสมการขอบเขตแล้วเลือกฝั่งที่ถูก

   $x=\frac{4\pm\sqrt{16+32}}{2}=\frac{4\pm4\sqrt3}{2}=2\pm2\sqrt3$

   เนื่องจาก $x^2-4x-8$ เปิดขึ้น มันจึง $\le0$ ระหว่าง รากของมัน

   $2-2\sqrt3\le x\le 2+2\sqrt3\qquad(\text{ประมาณ }-1.464\le x\le5.464).$

6. 6

   ตรวจความสมเหตุสมผลของคำตอบกับข้อมูลที่โจทย์ให้ ช่วงใหม่มีจุดศูนย์กลางที่ $x=2$ ซึ่งเป็นแกนสมมาตรเดิม และคลุม $[-1,5]$ ไว้อย่างเข้มงวด ซึ่งต้องเป็นเช่นนั้น เพราะระดับ $6$ อยู่สูงกว่าระดับ $0$ บนพาราโบลาที่เปิดขึ้น ลองแทนจุดปลาย: $f\left(2+2\sqrt3\right)=2\left(3+2\sqrt3\right)\left(-3+2\sqrt3\right)=2\left(12-9\right)=6$ ซึ่งเท่ากับค่าขอบพอดี