ฟังก์ชัน f นิยามโดย f(x) = ax^2 + bx + c เมื่อ a, b และ c เป็นค่าคงตัว สมการ f(x) = 0 มีคำตอบ x = 1 และ x = -7 ถ้า a เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 1 แล้ว a + b มากกว่าหรือเท่ากับ n สำหรับฟังก์ชัน f ทุกฟังก์ชันเช่นนี้ จงหาค่ามากที่สุดที่เป็นไปได้ของ n

Step-by-step solution

1. 1

   เปลี่ยนรากทั้งสองให้เป็นรูปแยกตัวประกอบ พหุนามกำลังสองถูกกำหนดด้วยรากของมันโดยเหลือตัวประกอบมาตราส่วนหนึ่งตัว เนื่องจาก $f(1)=0$ และ $f(-7)=0$ ตัวประกอบ $(x-1)$ และ $(x+7)$ จึงหาร $f$ ลงตัวทั้งคู่ ดังนั้น

   $f(x)=a(x-1)(x+7)$

   สำหรับค่าคงตัว $a$ บางค่า และ $a$ ตัวนั้นคือสัมประสิทธิ์นำตัวเดียวกับใน $ax^{2}+bx+c$ เพราะผลคูณ $(x-1)(x+7)$ มีสัมประสิทธิ์นำเป็นหนึ่ง

2. 2

   กระจายออกเพื่ออ่านค่า $b$ ในรูปของ $a$

   $f(x)=a\left(x^{2}+6x-7\right)=ax^{2}+6ax-7a,$

   เทียบสัมประสิทธิ์ได้ $b=6a$ และ $c=-7a$ ตอนนี้ตัวไม่รู้ค่าเพียงตัวเดียวคือ $a$ ควบคุมทุกอย่าง

3. 3

   เขียนปริมาณที่ถูกกำหนดขอบเขต

   $a+b=a+6a=7a.$

   คำถามที่ว่า "ถ้า $a+b\ge n$ เป็นจริงเสมอ แล้ว $n$ ใหญ่ได้แค่ไหน" จึงแท้จริงคือ "$7a$ เล็กได้แค่ไหน"

4. 4

   หาค่าต่ำสุดบนค่า $a$ ที่อนุญาต เงื่อนไขคือ $a$ เป็น จำนวนเต็มที่มากกว่า 1 ค่าที่เป็นไปได้จึงเป็น $a=2,3,4,\dots$ และค่าที่น้อยที่สุดคือ $a=2$ (สังเกตว่า $a\ne 0$ เป็นจริงอยู่แล้วโดยอัตโนมัติ เพราะพหุนามกำลังสองต้องมีสัมประสิทธิ์นำที่ไม่เป็นศูนย์) ค่าน้อยที่สุดของ $a+b$ จึงเป็น

   $7(2)=14.$

5. 5

   แปลงค่าต่ำสุดให้เป็นคำตอบ อสมการ $a+b\ge n$ ต้องเป็นจริงสำหรับ $f$ ทุกตัว ที่อนุญาต ดังนั้น $n$ จึงมากได้ไม่เกินค่าที่น้อยที่สุดที่ $a+b$ เคยเป็น ค่าน้อยที่สุดนั้นคือ $14$ และเกิดขึ้นได้จริง (ที่ $a=2$ ให้ $f(x)=2x^{2}+12x-14$) ดังนั้น $n=14$ ใช้ได้ และค่าที่ใหญ่กว่านี้ใช้ไม่ได้

   $n_{\max}=14.$