แก้สมการ 3ˣ = x⁹ หาค่า x ที่เป็นจำนวนจริง

Step-by-step solution

1. 1

   จำกัดโดเมนโดยดูจากข้างซ้าย $3^{x}>0$ สำหรับ $x$ จริงทุกค่า ดังนั้น $x^{9}$ ก็ต้องเป็นบวกด้วย เนื่องจาก $9$ เป็นจำนวนคี่ เงื่อนไข $x^{9}>0$ จึงบังคับให้

   $x>0$

   เราจึงพิจารณาเฉพาะ $x$ ที่เป็นบวก และการใส่ลอการิทึมก็ทำได้อย่างถูกต้อง

2. 2

   ใส่ลอการิทึมเพื่อเปลี่ยนทั้งสองข้างให้เป็นผลคูณ สำหรับ $x>0$:

   $x\ln3=9\ln x\qquad\Longrightarrow\qquad\frac{\ln x}{x}=\frac{\ln3}{9}\approx0.122068$

   โจทย์กลายเป็นคำถามว่า เส้นโค้ง $g(x)=\dfrac{\ln x}{x}$ ตัดกับระดับแนวนอนที่กำหนดไว้ตรงไหนบ้าง

3. 3

   มองหารากที่แน่นอน ลองทำให้ทั้งสองข้างเป็นเลขยกกำลังฐานเดียวกัน เนื่องจาก $27=3^{3}$

   $27^{9}=\left(3^{3}\right)^{9}=3^{27}\ \checkmark$

   ดังนั้น $x=27$ เป็นคำตอบของสมการพอดี ยืนยันได้ด้วยเลขคณิตจำนวนเต็มแบบแน่นอน ✓ (ในทางกลับกัน $x=9$ ใช้ไม่ได้: $3^{9}=19683$ แต่ $9^{9}=387\,420\,489$ และ $x=3$ ก็ใช้ไม่ได้เช่นกัน)

4. 4

   นับจำนวนรากจากรูปร่างของ $g$ เมื่อหาอนุพันธ์ได้ $g'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^{2}}$ ซึ่งเป็นบวกเมื่อ $x<e$ และเป็นลบเมื่อ $x>e$ ดังนั้น $g$ ไต่ขึ้นสู่ค่าสูงสุดเพียงจุดเดียวคือ $g(e)=1/e\approx0.3679$ แล้วลดลงเข้าหา $0$ เนื่องจากระดับเป้าหมาย $0.122068$ อยู่ต่ำกว่าค่าสูงสุดนั้นและสูงกว่า $0$ เส้นแนวนอนจึงตัดเส้นโค้งพอดีสองครั้ง ข้างละครั้งรอบ $x=e$ รากที่รู้แล้วคือ $27$ อยู่ทางขวา รากที่สองจึงต้องอยู่ใน $(1,e)$

5. 5

   หารากที่สองเชิงตัวเลข การแบ่งครึ่งช่วงเพื่อแก้ $g(x)=\ln3/9$ บน $(1,e)$ ลู่เข้าสู่

   $x\approx1.1508248$

   ตรวจ: $3^{1.1508248}=3.5406498$ และ $1.1508248^{9}=3.5406493$ ✓ ตรงกันถึงระดับ $10^{-6}$ สมการนี้จึงมีคำตอบจริงสองค่า การตอบเพียง $x=27$ จึงตอบไม่ครบครึ่งหนึ่ง:

   $x=27\qquad\text{และ}\qquad x\approx1.15082$