แก้สมการ 2x + 2λx + μ = 0 หา x โดยถือว่า λ และ μ เป็นพารามิเตอร์

Step-by-step solution

1. 1

   รวบพจน์ $x$ แล้วดึงตัวประกอบ ทั้ง $2x$ และ $2\lambda x$ มี $x$ กำลังหนึ่งเท่ากัน จึงรวมกันได้:

   $2x+2\lambda x=2x(1+\lambda)$

   สมการจึงกลายเป็น

   $2x(1+\lambda)+\mu=0$

   รูปนี้คือประเด็นทั้งหมด สัมประสิทธิ์ของ $x$ กลายเป็นปริมาณเดียวที่มองเห็นได้ชัดคือ $2(1+\lambda)$ และทุกอย่างขึ้นอยู่กับว่ามันเป็นศูนย์หรือไม่

2. 2

   แก้กรณีทั่วไป $\lambda\neq -1$ ตอนนั้น $2(1+\lambda)\neq 0$ และหารได้:

   $2x(1+\lambda)=-\mu\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{-\mu}{2(1+\lambda)}$

   มีคำตอบพอดีหนึ่งค่า เช่น $\lambda=3,\ \mu=5$ ให้ $x=-\frac{5}{8}$ และจริง ๆ แล้ว $2(-0.625)+6(-0.625)+5=0$

3. 3

   จัดการกรณีเสื่อม $\lambda=-1$ ตอนนี้ $1+\lambda=0$ พจน์ $x$ หายไปทั้งหมด และสมการยุบเหลือข้อความเกี่ยวกับค่าคงตัว

   $\mu=0$

   ตรงนี้หารด้วยศูนย์ไม่ได้ จึงต้องอ่านสองกรณีย่อยออกมาตรง ๆ

4. 4

   แยกกรณีเสื่อมออกเป็นสอง ถ้า $\lambda=-1$ และ $\mu=0$ สมการเป็น $0=0$ ซึ่งเป็นจริงสำหรับ $x$ จริงทุกค่า เซตคำตอบจึงเป็น $\mathbb{R}$ ทั้งหมด เป็นเอกลักษณ์ ไม่ใช่สมการที่มีรากเดียว ถ้า $\lambda=-1$ และ $\mu\neq 0$ สมการบอกว่า $\mu=0$ ทั้งที่ $\mu\neq 0$ เป็นข้อขัดแย้ง เซตคำตอบจึงว่างเปล่า

5. 5

   สรุปสามกรณี สมการเชิงเส้น $Ax+B=0$ แยกออกเป็นสามกรณีแบบนี้เสมอ และในที่นี้ $A=2(1+\lambda)$, $B=\mu$:

   $\lambda\neq-1:\quad x=\frac{-\mu}{2(1+\lambda)}\ \text{(มีค่าเดียว)}$

   $\lambda=-1,\ \mu=0:\quad x\in\mathbb{R}\ \text{(มีคำตอบไม่จำกัด)}$

   $\lambda=-1,\ \mu\neq0:\quad \text{ไม่มีคำตอบ}$

   การข้ามการแยกกรณีคือความผิดพลาดมาตรฐาน การหารด้วย $1+\lambda$ โดยไม่ตรวจว่ามันไม่เป็นศูนย์จะทิ้งความเป็นไปได้สองข้อสุดท้ายไปอย่างเงียบ ๆ