ในสัญกรณ์สร้างเซต เซตของ x ทั้งหมดที่ 2 ≤ x ≤ 5, x = 10 เป็นเซตเดียวกับช่วงตั้งแต่ 2 ถึง 5 รวมกับจุดเดี่ยว 10 หรือไม่

Step-by-step solution

1. 1

   ระบุธรรมเนียมของลูกน้ำ ในสัญกรณ์สร้างเซต ทุกอย่างที่อยู่หลังขีดคั่นคือรายการเงื่อนไขที่สมาชิกต้องสอดคล้องพร้อมกันทั้งหมด ลูกน้ำจึงอ่านว่า "และ"

   $\{x \mid P(x),\ Q(x)\} = \{x \mid P(x) \ \text{และ} \ Q(x)\}$

   นี่เป็นธรรมเนียมที่ตายตัว ไม่ใช่ทางเลือกด้านการเขียน เช่นเดียวกับที่ลูกน้ำทำงานใน $\{(x,y) \mid x > 0,\ y > 0\}$ ซึ่งคือจตุภาคที่หนึ่งแบบเปิด

2. 2

   ใช้ธรรมเนียมนี้กับเซตที่โจทย์ให้มา อ่านลูกน้ำว่า "และ" จะทำให้คำบรรยายกลายเป็น

   $2 \le x \le 5 \quad \text{และ} \quad x = 10$

   ไม่มีจำนวนใดสอดคล้องทั้งสองข้อ เพราะ $x = 10$ บังคับให้ $x = 10$ แต่ $10 > 5$ เงื่อนไขเรื่องช่วงจึงไม่เป็นจริง

3. 3

   สรุปว่าเซตนี้เป็นเซตว่าง เงื่อนไขทั้งสองขัดแย้งกัน ดังนั้น

   $\{x \mid 2 \le x \le 5,\ x = 10\} = \varnothing$

   จึงไม่ใช่เซตที่ตั้งใจจะเขียน แต่เป็นเซตว่าง ซึ่งผิดมากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ ไม่ใช่แค่พลาดไปนิดเดียว

4. 4

   เขียนเซตที่ตั้งใจไว้ให้ถูกต้อง สำหรับยูเนียนต้องใช้คำว่า "หรือ" ซึ่งเป็นเงื่อนไขเดียวที่สร้างขึ้นจากการเลือกอย่างใดอย่างหนึ่ง

   $\{x \mid 2 \le x \le 5 \ \text{หรือ} \ x = 10\}$

   หรือเทียบเท่ากันคือ ยูเนียนของเซตสองเซตที่บรรยายแยกกัน

   $\{x \mid 2 \le x \le 5\} \cup \{10\} = [2,5] \cup \{10\}$

5. 5

   ตรวจการเป็นสมาชิกด้วยค่าทดสอบ ในเซตที่แก้ไขแล้ว $x = 3$ สอดคล้องกับอนุประโยคแรก $3$ จึงเป็นสมาชิก $x = 10$ สอดคล้องกับอนุประโยคที่สอง $10$ จึงเป็นสมาชิก ส่วน $x = 7$ ไม่สอดคล้องกับข้อใดเลย $7$ จึงไม่เป็นสมาชิก นี่คือแบบรูปการเป็นสมาชิกของ $[2,5] \cup \{10\}$ พอดี คำบรรยายทั้งสองจึงตรงกัน

6. 6

   จำกฎการจับคู่ไว้ ลูกน้ำ (และอินเตอร์เซกชัน $\cap$) ไปด้วยกัน และทำให้เซตเล็กลง ส่วนคำว่า "หรือ" (และยูเนียน $\cup$) ไปด้วยกัน และทำให้เซตใหญ่ขึ้น เมื่อใดที่คำบรรยายเป็นรายการของชิ้นส่วนที่แยกจากกัน ต้องใช้ "หรือ" หรือ $\cup$ ไม่ใช่ลูกน้ำ