กำหนดให้ a และ b เป็นจำนวนจริงบวก โดย m = a^3 + b^3 และ n = a^2b + ab^2 จงเปรียบเทียบ m กับ n

Step-by-step solution

1. 1

   เปรียบเทียบด้วยการลบ ไม่ใช่การหาร สำหรับนิพจน์สองก้อน วิธีที่เชื่อถือได้คือดูเครื่องหมายของ $m-n$ ถ้า $m-n>0$ แสดงว่า $m>n$ ถ้า $m-n=0$ แสดงว่าทั้งสองเท่ากัน และถ้า $m-n<0$ แสดงว่า $m<n$ ในข้อนี้การหารก็ใช้ได้เพราะ $a,b>0$ แต่การลบทำให้ทุกอย่างยังเป็นพหุนามที่แยกตัวประกอบได้

2. 2

   สร้างผลต่างแล้วจัดกลุ่มเป็นคู่

   $m-n=a^3+b^3-a^2b-ab^2$

   จับพจน์กำลังสามเข้าคู่กับพจน์ผสมที่มีตัวแปรร่วมกัน:

   $m-n=(a^3-a^2b)+(b^3-ab^2)=a^2(a-b)+b^2(b-a)$

3. 3

   ดึงตัวประกอบร่วม $(a-b)$ ออกมา เนื่องจาก $b-a=-(a-b)$

   $m-n=a^2(a-b)-b^2(a-b)=(a-b)(a^2-b^2)$

   และ $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ ดังนั้น

   $\boxed{m-n=(a+b)(a-b)^2}$

   รูปที่แยกตัวประกอบแล้วนี่แหละคือคำตอบทั้งหมด เพราะมันเปลี่ยนการเปรียบเทียบให้เหลือแค่การดูเครื่องหมาย

4. 4

   อ่านเครื่องหมายออกมา เมื่อ $a>0$ และ $b>0$ เราได้ $a+b>0$ และ $(a-b)^2\ge 0$ สำหรับจำนวนจริงใด ๆ จำนวนบวกคูณกับจำนวนที่ไม่เป็นลบย่อมไม่เป็นลบ ดังนั้น

   $m-n\ge 0\qquad\Longrightarrow\qquad m\ge n$

5. 5

   ระบุให้ชัดว่าเท่ากันเมื่อไร ผลคูณ $(a+b)(a-b)^2$ จะเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อตัวประกอบตัวใดตัวหนึ่งเป็นศูนย์ เนื่องจาก $a+b>0$ การเท่ากันจึงบังคับให้ $(a-b)^2=0$ นั่นคือ $a=b$ ดังนั้น

   $a^3+b^3>a^2b+ab^2\ \text{ เมื่อ } a\neq b,\qquad a^3+b^3=a^2b+ab^2\ \text{ เมื่อ } a=b$

6. 6

   ตรวจด้วยตัวเลข ลอง $a=3,b=1$: $m=27+1=28$ และ $n=9+3=12$ ซึ่งตรงกับ $(a+b)(a-b)^2=4\cdot 4=16=28-12$ พอดี ลอง $a=b=2$: $m=16$ และ $n=16$ เท่ากันตามที่ทำนายไว้ เอกลักษณ์เดียวกันนี้ยังพิสูจน์ข้อเท็จจริงที่คุ้นเคยว่า $a^3+b^3\ge ab(a+b)$ สำหรับ $a,b$ ที่เป็นบวก