จงหาฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง t(x) = 3·√(x + 6) และระบุโดเมนของฟังก์ชันผกผัน

Step-by-step solution

1. 1

   บันทึกโดเมนและพิสัยของฟังก์ชันเดิมไว้ก่อน ค่าใต้กรณฑ์ต้องไม่เป็นลบ ดังนั้น $x+6\ge0$ ให้โดเมนเป็น $x\ge-6$ และเนื่องจาก $\sqrt{\ }$ คืนค่าที่ไม่เป็นลบ พิสัยจึงเป็น $t(x)\ge0$ ข้อเท็จจริงสองข้อนี้จะกลายเป็นพิสัยและโดเมนของฟังก์ชันผกผันตามลำดับ จึงควรจดไว้ตั้งแต่แรก

2. 2

   ให้ $y=t(x)$ แล้วสลับตัวแปร เขียน $y=3\sqrt{x+6}$ แล้วสลับ $x$ กับ $y$

   $x=3\sqrt{y+6}.$

   การสลับคือสิ่งที่เข้ารหัสความหมายว่า "กลับด้านค่าที่ป้อนเข้ากับค่าที่ออกมา" จากนั้นแก้หา $y$ ก็จะได้กฎของฟังก์ชันผกผัน

3. 3

   แยกกรณฑ์ออกมาก่อนยกกำลังสอง หารด้วย $3$ ก่อน

   $\frac{x}{3}=\sqrt{y+6}.$

   ถ้ายกกำลังสองทั้งที่ $3$ ยังอยู่ข้างนอก จะได้ $x^{2}=9(y+6)$ ซึ่งในข้อนี้ให้คำตอบเดียวกัน แต่นิสัยที่แยกกรณฑ์ออกมาก่อนจะช่วยกันความผิดพลาดในกรณีที่สัมประสิทธิ์เป็นการบวกแทนที่จะเป็นการคูณ

4. 4

   ยกกำลังสองแล้วแก้หา $y$ ยกกำลังสองทั้งสองข้าง

   $\frac{x^{2}}{9}=y+6\;\Longrightarrow\;y=\frac{x^{2}}{9}-6.$

   กฎของฟังก์ชันผกผันจึงเป็น $t^{-1}(x)=\dfrac{x^{2}}{9}-6$

5. 5

   ติดข้อจำกัดของโดเมนไปด้วย เพราะมันเป็นส่วนหนึ่งของคำตอบ พาราโบลา $\frac{x^{2}}{9}-6$ ไม่ได้เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งบน $\mathbb{R}$ ทั้งหมด มีเพียงกิ่งที่ตรงกับพิสัยของ $t$ เท่านั้นที่นับ

   $t^{-1}(x)=\frac{x^{2}}{9}-6,\qquad x\ge0.$

   ตรวจการประกอบทั้งสองทาง $t\!\left(t^{-1}(4.2)\right)=4.2$ ✓ และ $t^{-1}\!\left(t(3.3)\right)=3.3$ ✓ ถ้าไม่มีข้อจำกัดนี้ $t^{-1}(-3)=-5$ จะอ้างอย่างผิด ๆ ว่า $t(-5)=-3$ ทั้งที่จริงแล้ว $t(-5)=3$