จงหาผลหารผลต่าง (f(x + h) - f(x))/h เมื่อ h ไม่เท่ากับ 0 สำหรับ f(x) = x^2 - 5x + 2 แล้วทำให้อยู่ในรูปอย่างง่าย

Step-by-step solution

1. 1

   แทน $x+h$ ลงในกฎของฟังก์ชันทั้งหมด ไม่ใช่เฉพาะพจน์แรก ทุก $x$ ใน $f$ ต้องถูกแทนที่ รวมถึงตัวที่อยู่ใน $-5x$ ด้วย

   $f(x+h)=(x+h)^{2}-5(x+h)+2.$

   กระจาย $(x+h)^{2}=x^{2}+2xh+h^{2}$ และแจกแจง $-5$ เข้าไป

   $f(x+h)=x^{2}+2xh+h^{2}-5x-5h+2.$

2. 2

   ลบ $f(x)$ โดยคงเครื่องหมายลบไว้กับทุกพจน์ ตรงนี้คือจุดที่คนพลาดเรื่องเครื่องหมายมากที่สุด ให้เขียนวงเล็บก้อนที่สองออกมาก่อนแล้วค่อยถอดวงเล็บ

   $f(x+h)-f(x)=\left(x^{2}+2xh+h^{2}-5x-5h+2\right)-\left(x^{2}-5x+2\right).$

   $=x^{2}+2xh+h^{2}-5x-5h+2-x^{2}+5x-2.$

3. 3

   ดูว่าอะไรตัดกัน และเพราะอะไร ทุกพจน์ของ $f(x)$ ที่ไม่มี $h$ หายไปหมด: $x^{2}-x^{2}=0$, $-5x+5x=0$, $2-2=0$ เรื่องนี้เกิดขึ้นเสมอ และเป็นสิ่งที่รับประกันว่าตัวเศษหารด้วย $h$ ลงตัว

   $f(x+h)-f(x)=2xh+h^{2}-5h.$

4. 4

   ดึง $h$ ออกจากตัวเศษแล้วตัดทิ้ง เนื่องจากโจทย์ให้ $h\neq 0$ การตัดทิ้งจึงทำได้อย่างถูกต้อง

   $\frac{2xh+h^{2}-5h}{h}=\frac{h(2x+h-5)}{h}=2x+h-5.$

5. 5

   ตีความและตรวจผลลัพธ์ คำตอบ $2x+h-5$ คือความชันของเส้นตัดที่ผ่านจุด $(x,f(x))$ กับ $(x+h,f(x+h))$ เมื่อให้ $h\to 0$ จะได้ $2x-5$ ซึ่งก็คือ $f'(x)$ พอดี เป็นการยืนยันที่ดี ตรวจเชิงตัวเลขที่ $x=1.7$, $h=0.03$: $\frac{f(1.73)-f(1.7)}{0.03}=-1.57$ และ $2(1.7)+0.03-5=-1.57$