แก้อสมการ 1 + 11/(2 ยกกำลัง x ลบ 8) + 28/(4 ยกกำลัง x ลบ 2 ยกกำลัง (x+4) บวก 64) ≥ 0

Step-by-step solution

1. 1

   แทน t = 2ˣ แล้วเขียนเลขชี้กำลังทุกตัวในรูป t เนื่องจาก $2^x > 0$ สำหรับ $x$ จริงทุกค่า ให้ $t = 2^x$ โดย $t > 0$ จากนั้น

   $4^x = (2^x)^2 = t^2, \qquad 2^{x+4} = 2^4 \cdot 2^x = 16t$

   จุดสำคัญคือ $2^{x+4} = 16t$ ไม่ใช่ $t + 16$ เพราะเลขชี้กำลังบวกกัน ฐานจึงคูณกัน

2. 2

   สังเกตว่าตัวส่วนก้อนที่สองเป็นกำลังสองสมบูรณ์

   $4^x - 2^{x+4} + 64 = t^2 - 16t + 64 = (t - 8)^2$

   ตอนนี้ตัวส่วนทั้งสองก้อนเกี่ยวข้องกับปริมาณเดียวกันคือ $t - 8$ ซึ่งเป็นสิ่งที่ทำให้ทั้งโจทย์ยุบลง ให้ $u = t - 8$ อสมการจะกลายเป็น

   $1 + \frac{11}{u} + \frac{28}{u^2} \ge 0, \qquad u \ne 0$

3. 3

   คูณตลอดด้วย u² ทำได้เพราะมันเป็นบวก เนื่องจาก $u \ne 0$ จึงได้ $u^2 > 0$ การคูณจึงไม่ทำให้อสมการกลับทิศ:

   $u^2 + 11u + 28 \ge 0 \ \Longleftrightarrow \ (u + 4)(u + 7) \ge 0$

   นี่คือเหตุผลที่การเขียนตัวส่วนเป็นกำลังสองกับรากของมันคุ้มค่า เพราะไม่ต้องทำตารางเครื่องหมายบนเศษส่วนเลย

4. 4

   แก้อสมการกำลังสองในตัวแปร u พาราโบลาหงายจะไม่เป็นลบนอกช่วงระหว่างรากของมัน คือ $u = -7$ และ $u = -4$:

   $u \le -7 \quad \text{หรือ} \quad u \ge -4, \qquad u \ne 0$

5. 5

   แปลกลับผ่าน u = t − 8 และ t = 2ˣ จาก $u \le -7$:

   $t \le 1 \ \Rightarrow \ 2^x \le 2^0 \ \Rightarrow \ x \le 0$

   จาก $u \ge -4$:

   $t \ge 4 \ \Rightarrow \ 2^x \ge 2^2 \ \Rightarrow \ x \ge 2$

   ทั้งสองกรณีใช้ข้อเท็จจริงว่า $2^x$ เป็นฟังก์ชันเพิ่ม ทิศทางของอสมการจึงคงเดิม ส่วนเงื่อนไข $t > 0$ เป็นจริงโดยอัตโนมัติและไม่เพิ่มข้อจำกัดใด

6. 6

   ตัดจุดที่ต้องยกเว้นออกแล้วเขียนคำตอบ ข้อจำกัด $u \ne 0$ หมายถึง $t \ne 8$ นั่นคือ $x \ne 3$ ซึ่งเป็นจุดที่ตัวส่วนเดิมทั้งสองก้อนเป็นศูนย์ ดังนั้น

   $x \in (-\infty, 0] \cup [2, 3) \cup (3, \infty)$

   การสุ่มตรวจเชิงตัวเลขยืนยันคำตอบ: ที่ $x = -1$ ข้างซ้ายเท่ากับ $+0.0311$ ที่ $x = 0$ เท่ากับ $0$ พอดี ที่ $x = 1$ เท่ากับ $-0.0556$ ที่ $x = 2$ เท่ากับ $0$ พอดี และที่ $x = 4$ เท่ากับ $+2.8125$