จงหาค่าทั้งหมดของค่าคงตัว k ที่ทำให้สมการ x^2 - (2k - 1)x + 1 = 0 มีรากหนึ่งรากในช่วง (0, 1) และอีกรากหนึ่งในช่วง (2, 3)

Step-by-step solution

1. 1

   แปลงตำแหน่งของรากให้เป็นเงื่อนไขเครื่องหมาย ไม่ใช่เป็นดิสคริมิแนนต์ ให้ $f(x)=x^2-(2k-1)x+1$ พาราโบลาเปิดขึ้น จึงเป็นลบเฉพาะระหว่างรากทั้งสองเท่านั้น การเรียกร้องให้รากหนึ่งอยู่ใน $(0,1)$ อย่างเข้มงวด และอีกรากอยู่ใน $(2,3)$ อย่างเข้มงวด จึงเท่ากับการเรียกร้องเงื่อนไขเครื่องหมายสี่ข้อ

   $f(0)>0,\qquad f(1)<0,\qquad f(2)<0,\qquad f(3)>0.$

   การเปลี่ยนเครื่องหมายอย่างเข้มงวดแต่ละครั้งบังคับให้มีรากอยู่ระหว่างจุดทดสอบสองจุดที่ติดกัน และจุดทดสอบสี่จุดที่ให้แบบรูป $+,-,-,+$ จะขังรากไว้ใน $(0,1)$ หนึ่งรากและใน $(2,3)$ หนึ่งรากพอดี เงื่อนไขดิสคริมิแนนต์แถมมาฟรี เพราะการเปลี่ยนเครื่องหมายรับประกันว่ามีรากจริงอยู่แล้ว

2. 2

   หาค่า $f$ ที่จุดทดสอบทั้งสี่

   $f(0)=1$

   $f(1)=1-(2k-1)+1=3-2k$

   $f(2)=4-2(2k-1)+1=7-4k$

   $f(3)=9-3(2k-1)+1=13-6k$

3. 3

   บังคับเงื่อนไขทีละข้อ

   $f(0)=1>0\quad\text{— เป็นจริงโดยอัตโนมัติสำหรับทุก }k.$

   $f(1)=3-2k<0\;\Longrightarrow\;k>\frac32$

   $f(2)=7-4k<0\;\Longrightarrow\;k>\frac74$

   $f(3)=13-6k>0\;\Longrightarrow\;k<\frac{13}{6}$

4. 4

   หาส่วนร่วมของเงื่อนไขทั้งหมด เนื่องจาก $\tfrac74>\tfrac32$ เงื่อนไขจาก $f(1)$ จึงถูกกลืนโดยเงื่อนไขจาก $f(2)$ เหลือเพียง

   $\frac74<k<\frac{13}{6}.$

5. 5

   ตรวจซ้ำด้วยข้อโต้แย้งอิสระโดยใช้ผลคูณของราก ตามสูตรเวียตา ผลคูณของรากเท่ากับ $1$ รากทั้งสองจึงเป็นส่วนกลับของกันและกันคือ $r$ กับ $1/r$ ถ้า $r\in(2,3)$ แล้ว $1/r\in\left(\tfrac13,\tfrac12\right)\subset(0,1)$ โดยอัตโนมัติ เงื่อนไขบนรากตัวเล็กจึงไม่ได้ให้ข้อมูลเพิ่มเลย ตรงกับที่พีชคณิตแสดงไว้ ส่วนผลบวกให้

   $r+\frac1r=2k-1\;\Longrightarrow\;k=\frac12\left(r+\frac1r+1\right),$

   และ $r+\tfrac1r$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มเมื่อ $r>1$ ดังนั้นเมื่อ $r$ วิ่งไปทั่ว $(2,3)$ ค่า $k$ จะวิ่งไปทั่ว $\left(\tfrac12\left(\tfrac52+1\right),\tfrac12\left(\tfrac{10}{3}+1\right)\right)=\left(\tfrac74,\tfrac{13}{6}\right)$ ซึ่งเป็นช่วงเดียวกัน

6. 6

   สุ่มตรวจค่าหนึ่งค่าในช่วงและอีกค่าหนึ่งที่เพิ่งพ้นช่วง ที่ $k=2$: $x^2-3x+1=0$ ให้ราก $0.382$ กับ $2.618$ คืออยู่ช่วงละหนึ่งรากตามที่ต้องการ ส่วนที่ $k=2.2$ (สูงกว่า $13/6\approx2.1667$ นิดเดียว) ได้ราก $0.325$ กับ $3.075$ ซึ่งรากตัวใหญ่หลุดพ้น $3$ ไปแล้ว ยืนยันจุดปลายด้านบน