แก้สมการ 3x² − 48 = 0

Step-by-step solution

1. 1

   สังเกตว่าไม่มีพจน์ $x$ จึงไม่จำเป็นต้องใช้สูตรกำลังสอง สมการรูป $ax^{2}+c=0$ แก้ได้ด้วยการแยก $x^{2}$ ออกมาแล้วถอดราก ซึ่งเร็วกว่าการแทนค่าลงในสูตรมาก เริ่มด้วยการบวก $48$ เข้าทั้งสองข้าง:

   $3x^{2}=48$

2. 2

   หารด้วยสัมประสิทธิ์นำ หารทั้งสองข้างด้วย $3$ ก่อนถอดรากใด ๆ ถ้าถอดรากของ $3x^{2}$ ตรง ๆ จะเหลือ $\sqrt{3}$ ที่ยุ่งยาก:

   $x^{2}=16$

3. 3

   ใช้สมบัติการถอดรากที่สองโดยใส่ทั้งสองเครื่องหมาย ถ้า $x^{2}=k$ โดย $k>0$ แล้ว $x=\pm\sqrt{k}$ คือมีสองคำตอบ เพราะการยกกำลังสองทำลายข้อมูลเรื่องเครื่องหมาย:

   $x=\pm\sqrt{16}=\pm4$

   การเขียนแค่ $x=4$ ทำให้คำตอบหายไปครึ่งหนึ่ง สัญลักษณ์ $\sqrt{16}$ เดี่ยว ๆ หมายถึงรากหลัก (ที่ไม่เป็นลบ) คือ $4$ ซึ่งเป็นเหตุผลที่ต้องเติม $\pm$ เข้าไปเอง

4. 4

   ตรวจรากทั้งสองในสมการเดิม ที่ $x=4$: $3(16)-48=48-48=0$ ✓ ที่ $x=-4$: $3(-4)^{2}-48=3(16)-48=0$ ✓ สังเกตว่า $(-4)^{2}=+16$ กำลังสองของจำนวนลบเป็นบวก ซึ่งเป็นเหตุผลที่รากที่เป็นลบก็ใช้ได้เช่นกัน

5. 5

   ตรวจซ้ำด้วยการแยกตัวประกอบ $3x^{2}-48=3(x^{2}-16)=3(x-4)(x+4)$ และผลคูณจะเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อมีตัวประกอบตัวใดเป็นศูนย์ จึงได้ $x=4$ หรือ $x=-4$ ✓ เวียตาก็สอดคล้อง: ผลรวมของรากเท่ากับ $0=-b/a$ (ไม่มีพจน์ $x$) และผลคูณเท่ากับ $-48/3=-16$ ✓