แก้สมการ 2(x² + 1/x²) − 11(x − 1/x) + 8 = 0

Step-by-step solution

1. 1

   เลือกการแทนค่าให้ตรงกับวงเล็บที่โจทย์ให้มา สมการมี $x-\tfrac1x$ อยู่ จึงกำหนด

   $t=x-\frac1x\qquad(x\neq 0)$

   ยกกำลังสองได้ $t^{2}=x^{2}-2+\tfrac{1}{x^{2}}$ ดังนั้น

   $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=t^{2}+2$

   สังเกตว่าเป็นบวก $2$ ตรงนี้ ถ้าใช้การแทนค่าอีกแบบที่พบบ่อยคือ $t=x+\tfrac1x$ ค่าคงตัวจะเป็น $-2$ การสับสนระหว่างสองแบบนี้คือความผิดพลาดคลาสสิก

2. 2

   เขียนสมการใหม่ในรูป t

   $2\left(t^{2}+2\right)-11t+8=0\quad\Longrightarrow\quad 2t^{2}-11t+12=0$

3. 3

   แก้สมการกำลังสองในตัวแปร t

   $t=\frac{11\pm\sqrt{121-96}}{4}=\frac{11\pm 5}{4}\quad\Longrightarrow\quad t=4\ \text{หรือ}\ t=\frac32$

4. 4

   ย้อนกลับจาก t = 4

   $x-\frac1x=4\ \Longrightarrow\ x^{2}-4x-1=0\ \Longrightarrow\ x=2\pm\sqrt5$

   ทั้งสองรากเป็นจำนวนจริง เพราะดิสคริมิแนนต์คือ $16+4=20>0$

5. 5

   ย้อนกลับจาก t = 3/2

   $x-\frac1x=\frac32\ \Longrightarrow\ 2x^{2}-3x-2=0\ \Longrightarrow\ (2x+1)(x-2)=0\ \Longrightarrow\ x=2\ \text{หรือ}\ x=-\frac12$

   $\boxed{x=2+\sqrt5,\ 2-\sqrt5,\ 2,\ -\tfrac12}$

6. 6

   ดูว่าทำไมทั้งสี่รากจึงรอด แล้วตรวจหนึ่งราก ต่างจากสมการคู่แฝดที่ใช้ $t=x+\tfrac1x$ (ซึ่งเงื่อนไข $|t|\ge 2$ ตัดบางกิ่งทิ้ง) ตัวแปร $t=x-\tfrac1x$ รับค่าจริงได้ทุกค่า จึงไม่มีกิ่งใดถูกตัดออก ตรวจที่ $x=2$: $x^{2}+\tfrac{1}{x^{2}}=4.25$ และ $x-\tfrac1x=1.5$ ได้ $2(4.25)-11(1.5)+8=8.5-16.5+8=0$ ✓