แก้อสมการ (x − 1)(x + 2)(x − 3) < 0 แล้วเขียนเซตคำตอบในรูปสัญกรณ์ช่วง

Step-by-step solution

1. 1

   อย่ากระจายผลคูณ อสมการนี้อยู่ในรูปแยกตัวประกอบอยู่แล้ว และนั่นคือรูปที่เราต้องการพอดี ถ้าคูณกระจายออกมาจะได้ $x^3-2x^2-5x+6$ ซึ่งไม่บอกอะไรเกี่ยวกับเครื่องหมายเลย ผลคูณของตัวประกอบจะเป็นลบหรือบวกขึ้นอยู่กับว่ามีตัวประกอบ กี่ตัว ที่เป็นลบ ดังนั้นจงคงรูปแยกตัวประกอบไว้ แล้วพิจารณาทีละตัวประกอบ

2. 2

   หาศูนย์ของทุกตัวประกอบ ให้แต่ละตัวประกอบเท่ากับศูนย์จะได้

   $x-1=0\Rightarrow x=1,\qquad x+2=0\Rightarrow x=-2,\qquad x-3=0\Rightarrow x=3$

   จุดเหล่านี้เป็นที่เดียวที่ผลคูณจะเปลี่ยนเครื่องหมายได้ เพราะฟังก์ชันต่อเนื่องจะเปลี่ยนจากลบไปเป็นบวกได้ก็ต้องผ่านค่า $0$ เท่านั้น

3. 3

   แบ่งเส้นจำนวนที่ $-2$, $1$ และ $3$ ศูนย์ทั้งสามตัดเส้นจำนวนจริงออกเป็นช่วงเปิดสี่ช่วง

   $(-\infty,-2),\quad (-2,1),\quad (1,3),\quad (3,+\infty)$

   ภายในแต่ละช่วง เครื่องหมายของผลคูณคงที่ จุดทดสอบเพียงจุดเดียวจึงตัดสินได้ทั้งช่วง

4. 4

   ทดสอบช่วงละหนึ่งจุด ให้บันทึกเครื่องหมายของแต่ละตัวประกอบ แทนที่จะบันทึกค่าตัวเลข

   ช่วง	ค่าทดสอบ $x$	$x+2$	$x-1$	$x-3$	ผลคูณ
   $(-\infty,-2)$	$-3$	$-$	$-$	$-$	$-$
   $(-2,1)$	$0$	$+$	$-$	$-$	$+$
   $(1,3)$	$2$	$+$	$+$	$-$	$-$
   $(3,+\infty)$	$4$	$+$	$+$	$+$	$+$

   ลบสามตัวคูณกันได้ลบ ลบสองตัวคูณกันได้บวก กฎมีอยู่เท่านี้เอง

5. 5

   สังเกตรูปแบบการสลับเครื่องหมาย เพราะตัวประกอบแต่ละตัวมีกำลังหนึ่ง (รากทุกตัวเป็นรากเชิงเดี่ยว) เครื่องหมายจึงพลิกทุกครั้งที่ผ่านศูนย์ เริ่มจากช่วงขวาสุดที่ตัวประกอบทุกตัวเป็นบวก เครื่องหมายจะไล่เป็น $+,-,+,-$ เมื่อเลื่อนมาทางซ้าย พอรู้เครื่องหมายของช่วงขวาสุดแล้ว เราเติมที่เหลือได้เลยโดยไม่ต้องทดสอบอะไร ตารางข้างบนเป็นแค่การตรวจทานเท่านั้น

6. 6

   รวบรวมช่วงที่ผลคูณเป็นลบ แล้วตัดจุดปลายออก ผลคูณเป็นลบบนช่วง $(-\infty,-2)$ และบนช่วง $(1,3)$ อสมการนี้เป็นแบบเข้ม (น้อยกว่าอย่างเดียว) ดังนั้น $x=-2$, $x=1$ และ $x=3$ ซึ่งทำให้ผลคูณเท่ากับ $0$ ไม่ใช่น้อยกว่า $0$ จึงถูกตัดออก

   $\boxed{(-\infty,-2)\cup(1,3)}$

   ลองตรวจดู: $x=-3$ ได้ $(-4)(-1)(-6)=-24<0$ และ $x=2$ ได้ $(1)(4)(-1)=-4<0$ ส่วน $x=0$ ได้ $(-1)(2)(-3)=6>0$ ตรงตามที่ทำนายไว้