แก้สมการ 21x² + 68x − 85 = 0

Step-by-step solution

1. 1

   ตั้งการทดสอบแบบ AC เมื่อ $a=21$ และ $c=-85$ เราต้องหาจำนวนเต็มสองจำนวนที่มีผลคูณเป็น

   $ac=21\cdot(-85)=-1785$

   และมีผลบวกเป็น $b=68$

2. 2

   แสดงว่าการทดสอบล้มเหลวจริง คู่ตัวหารของ $1785=3\cdot 5\cdot 7\cdot 17$ ให้ผลบวกแบบมีเครื่องหมายเป็น $\pm 1784,\pm 592,\pm 352,\pm 248,\pm 104,\pm 88,\pm 64,\pm 16$ คู่ที่เฉียดที่สุดคือ $85$ กับ $-21$ ซึ่งบวกกันได้ $64$ ไม่ใช่ $68$ จึงไม่มีการแยกตัวประกอบด้วยจำนวนเต็ม และคำตอบใดที่สร้างจากคู่นั้นย่อมผิด

3. 3

   คำนวณดิสคริมิแนนต์

   $\Delta=68^2-4(21)(-85)=4624+7140=11764$

   เนื่องจาก $108^2=11664$ และ $109^2=11881$ ค่า $\Delta$ จึงไม่ใช่กำลังสองสมบูรณ์ ยืนยันว่ารากเป็นจำนวนอตรรกยะ

4. 4

   ใช้สูตรแล้วจัดรูป $11764=4\cdot 2941$ และ $2941=17\cdot 173$ ไม่มีตัวประกอบกำลังสอง ดังนั้น $\sqrt{11764}=2\sqrt{2941}$:

   $x=\frac{-68\pm 2\sqrt{2941}}{42}=\frac{-34\pm\sqrt{2941}}{21}$

5. 5

   ตรวจเชิงตัวเลข $\sqrt{2941}\approx 54.231$ ดังนั้น $x\approx 0.9634$ หรือ $x\approx-4.2015$ จากนั้น $21(0.9634)^2+68(0.9634)-85\approx 19.49+65.51-85\approx 0$ $\checkmark$