กำหนด (x² + y² + z²)² = 8z จะเขียน z เป็นฟังก์ชันเดียว f(x, y) ได้หรือไม่ และจงบรรยายพื้นผิวนี้

Step-by-step solution

1. 1

   สังเกตข้อจำกัดเรื่องเครื่องหมายที่เห็นได้ทันที ข้างซ้ายเป็นกำลังสอง จึงไม่เป็นลบ ดังนั้น $8z\ge 0$ และได้ $z\ge 0$ พื้นผิวทั้งหมดจึงอยู่ในครึ่งปริภูมิบน

2. 2

   ทดสอบที่จุดกำเนิดเพื่อตอบคำถามให้ขาด ให้ $x=y=0$ จะได้

   $\left(z^{2}\right)^{2}=8z\ \Longrightarrow\ z^{4}-8z=0\ \Longrightarrow\ z\left(z^{3}-8\right)=0\ \Longrightarrow\ z=0\ \text{หรือ}\ z=2$

   ค่าของ $z$ สองค่า ตรงกับค่าที่ป้อนเข้าเพียงค่าเดียวคือ $(0,0)$ จึงไม่มีฟังก์ชันค่าเดียว $f$ ใดบรรยายพื้นผิวทั้งหมดได้ เพราะไม่ผ่านการทดสอบเส้นตรงแนวดิ่ง

3. 3

   เปลี่ยนไปแก้หาระยะเชิงรัศมีแทน ถอดรากที่สองที่ไม่เป็นลบทั้งสองข้าง (ทำได้เพราะข้างซ้ายเป็นกำลังสองและ $z\ge 0$)

   $x^{2}+y^{2}+z^{2}=\sqrt{8z}\ \Longrightarrow\ x^{2}+y^{2}=\sqrt{8z}-z^{2}$

   รูปนี้บรรยายพื้นผิวได้อย่างเรียบร้อย เป็นวงกลมที่มีรัศมีคำนวณได้ที่ทุกระดับความสูง $z$

4. 4

   หาช่วงของความสูง ข้างซ้าย $x^{2}+y^{2}$ เป็นลบไม่ได้ จึงต้องมี

   $\sqrt{8z}\ge z^{2}\ \Longrightarrow\ 8z\ge z^{4}\ \Longrightarrow\ z\left(8-z^{3}\right)\ge 0\ \Longrightarrow\ 0\le z\le 2$

   พื้นผิวจึงมีขอบเขตจำกัด วางตัวอยู่ระหว่างระนาบ $z=0$ กับ $z=2$

5. 5

   บรรยายรูปทรง ที่แต่ละความสูง $z\in[0,2]$ ภาคตัดขวางเป็นวงกลมรัศมี $\sqrt{\sqrt{8z}-z^{2}}$ รัศมีนี้เป็น $0$ ทั้งที่ $z=0$ และ $z=2$ และเป็นบวกในช่วงระหว่างนั้น (ค่าสูงสุดอยู่ที่ $z=2^{-1/3}\approx 0.7937$ ซึ่งรัศมีขึ้นถึง $\approx 1.3747$) พื้นผิวจึงเป็นทรงตันปิดคล้ายลูกแอปเปิลที่เกิดจากการหมุนรอบแกน $z$ และถูกบีบเป็นจุดทั้งด้านบนและด้านล่าง

6. 6

   สรุปคำตอบ ไม่มีฟังก์ชันเดียว $z=f(x,y)$ พื้นผิวนี้ต้องเขียนแบบโดยปริยาย หรือแยกเป็นสาขาบนกับสาขาล่างเหนือแผ่นจาน $x^{2}+y^{2}\le\max\left(\sqrt{8z}-z^{2}\right)$ การรายงาน $f$ ในรูปปิดเพียงตัวเดียวเท่ากับทิ้งพื้นผิวไปครึ่งหนึ่งอย่างเงียบ ๆ