ติดตรงนี้? แก้มันด้วย AI
Algebra · real student question

ให้ W₁ และ W₂ เป็นปริภูมิย่อยของปริภูมิยุคลิด V ที่มีมิติ n โดย dim W₁ < dim W₂ จงพิสูจน์ว่า W₂ มีเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์ซึ่งตั้งฉากกับทุกเวกเตอร์ใน W₁

Question

ให้ W1W_1 และ W2W_2 เป็นปริภูมิย่อยเชิงเส้นของปริภูมิยุคลิด VV ที่มีมิติ nn โดย

dim⁡W1<dim⁡W2.\dim W_1<\dim W_2.

จงพิสูจน์ว่า W2W_2 มีเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์ซึ่งตั้งฉากกับทุกเวกเตอร์ใน W1W_1

Step-by-step solution

  1. เขียนเป้าหมายใหม่ให้เป็นข้อความว่าเคอร์เนลไม่เป็นเซตศูนย์ ข้อความที่ว่า "มี v∈W2v\in W_2 ที่ไม่เป็นศูนย์และตั้งฉากกับทุกตัวใน W1W_1" มีความหมายตรงกับ

    W2∩W1⊥≠{0}.W_2\cap W_1^{\perp}\ne\{0\}.

    การเปลี่ยนข้ออ้างเรื่องการมีอยู่ให้เป็นข้ออ้างเรื่องมิติคือสิ่งที่ทำให้โจทย์กลายเป็นงานประจำ เพราะมิตินับได้ แต่เวกเตอร์ทีละตัวนับไม่ได้

  2. สร้างการส่งเชิงเส้นที่มีเคอร์เนลเป็นเซตที่ต้องการ นิยาม

    T:W2→W1∗,T(x)(y)=⟨x,y⟩  เมื่อ y∈W1.T:W_2\to W_1^{*},\qquad T(x)(y)=\langle x,y\rangle\ \ \text{เมื่อ }y\in W_1.

    TT เป็นเชิงเส้นใน xx เพราะผลคูณภายในเป็นเชิงเส้น มันส่งเวกเตอร์แต่ละตัวของ W2W_2 ไปยังฟังก์ชันนัลเชิงเส้นที่เวกเตอร์นั้นเหนี่ยวนำขึ้นบน W1W_1

  3. ระบุเคอร์เนล T(x)T(x) เป็นฟังก์ชันนัลศูนย์ก็ต่อเมื่อ ⟨x,y⟩=0\langle x,y\rangle=0 สำหรับทุก y∈W1y\in W_1 ดังนั้น

    ker⁡T={x∈W2:  x⊥W1}=W2∩W1⊥.\ker T=\{x\in W_2:\;x\perp W_1\}=W_2\cap W_1^{\perp}.

    การพิสูจน์ว่า ker⁡T≠{0}\ker T\ne\{0\} จึงเท่ากับพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้เรียบร้อยแล้ว

  4. ตีกรอบภาพของการส่ง ภาพของ TT อยู่ภายใน W1∗W_1^{*} และ dim⁡W1∗=dim⁡W1\dim W_1^{*}=\dim W_1 ดังนั้น

    dim⁡(Im⁡T)≤dim⁡W1.\dim(\operatorname{Im}T)\le \dim W_1.

    นี่เป็นจุดเดียวที่สมมติฐานเข้ามามีบทบาท และเป็นจุดที่อสมการเข้มจะออกดอกออกผล

  5. ใช้ทฤษฎีบทอันดับ-นัลลิตี เนื่องจาก dim⁡W2=dim⁡(ker⁡T)+dim⁡(Im⁡T)\dim W_2=\dim(\ker T)+\dim(\operatorname{Im}T) จึงได้

    dim⁡(ker⁡T)=dim⁡W2−dim⁡(Im⁡T)≥dim⁡W2−dim⁡W1≥1,\dim(\ker T)=\dim W_2-\dim(\operatorname{Im}T)\ge \dim W_2-\dim W_1\ge 1,

    โดยใช้ dim⁡W2>dim⁡W1\dim W_2>\dim W_1 ในขั้นสุดท้าย ปริภูมิที่มีมิติอย่างน้อย 11 ย่อมมีเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์ ดังนั้นจึงมี v≠0v\ne 0 ใน W2W_2 ที่ทำให้ ⟨v,y⟩=0\langle v,y\rangle=0 สำหรับทุก y∈W1y\in W_1 ■\blacksquare

  6. ตรวจว่าขอบเขตนี้คมและสมมติฐานจำเป็นจริง ที่จริงข้อพิสูจน์นี้ให้ปริภูมิย่อยของเวกเตอร์ที่ตั้งฉากมาทั้งก้อน โดยมีมิติอย่างน้อย dim⁡W2−dim⁡W1\dim W_2-\dim W_1 อสมการเข้มตัดทิ้งไม่ได้ ใน R2\mathbb{R}^{2} ให้ W1=W2=span⁡{(1,0)}W_1=W_2=\operatorname{span}\{(1,0)\} ซึ่งมีมิติเท่ากัน เวกเตอร์เดียวใน W2W_2 ที่ตั้งฉากกับ W1W_1 คือ 00

Answer

dim⁡(W2∩W1⊥)≥dim⁡W2−dim⁡W1≥1, ดังนั้นเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์เช่นนั้นมีอยู่จริง\dim\bigl(W_2\cap W_1^{\perp}\bigr)\ge \dim W_2-\dim W_1\ge 1,\text{ ดังนั้นเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์เช่นนั้นมีอยู่จริง}

Need to solve a different problem like this? Open the solver →

Related questions