ให้ z เป็นจำนวนเชิงซ้อนซึ่งสังยุคของ (z - 1) คูณกับ (4 + 8i) เท่ากับ 2 จงหาค่ากำลังสองของค่าสัมบูรณ์ของ z

Step-by-step solution

1. 1

   เข้าใจก่อนว่าทำไมจะลัดด้วยค่าสัมบูรณ์อย่างเดียวไม่ได้ ถ้าใส่ค่าสัมบูรณ์ทั้งสองข้างจะได้ $|z-1|\cdot|4+8i|=2$ นั่นคือ $|z-1|=\tfrac{2}{\sqrt{80}}$ ซึ่งเป็นระยะจาก $z$ ไปยัง $1$ ไม่ใช่ $|z|$ จึงไม่ได้กำหนดค่า $|z|^2$ เราต้องกู้ตัว $z$ ออกมาจริง ๆ

2. 2

   แยกสังยุคออกมาแล้วทำตัวส่วนให้เป็นจำนวนจริง หารทั้งสองข้างด้วย $4+8i=4(1+2i)$ แล้วคูณด้วยสังยุคของตัวส่วน

   $\overline{(z-1)}=\frac{2}{4(1+2i)}=\frac{1}{2(1+2i)}\cdot\frac{1-2i}{1-2i}=\frac{1-2i}{2(1+4)}=\frac{1-2i}{10}.$

3. 3

   หาสังยุคทั้งสองข้างเพื่อถอดขีดบนออก การหาสังยุคเป็นการดำเนินการที่เป็นตัวผกผันของตัวเอง คือ $\overline{\overline{w}}=w$ ดังนั้น

   $z-1=\overline{\left(\frac{1-2i}{10}\right)}=\frac{1+2i}{10}=\frac{1}{10}+\frac{1}{5}i.$

4. 4

   แก้หา $z$ บวก $1$ เข้าไป

   $z=1+\frac{1}{10}+\frac{1}{5}i=\frac{11}{10}+\frac{1}{5}i.$

5. 5

   ใช้สูตร $|z|^2=a^2+b^2$ เมื่อ $a=\tfrac{11}{10}$ และ $b=\tfrac15$

   $|z|^2=\frac{121}{100}+\frac{1}{25}=\frac{121}{100}+\frac{4}{100}=\frac{125}{100}=\frac54.$

   ตรวจ: $\overline{(z-1)}(4+8i)=\left(\tfrac{1-2i}{10}\right)(4+8i)=\tfrac{4+8i-8i+16}{10}=2$ ตรงตามที่โจทย์กำหนด