จงแก้ระบบสมการ 1/x + 1/y = −1 และ 3/x − 2/y = 7

Step-by-step solution

1. 1

   แทนตัวแปรใหม่ให้กับส่วนกลับ ถ้ากำจัดตัวส่วนตรง ๆ จะเกิดพจน์ไขว้กำลังสอง $xy$ แทนที่จะทำอย่างนั้น ให้

   $a = \frac{1}{x}, \qquad b = \frac{1}{y}$

   ระบบจะกลายเป็นเชิงเส้นอย่างสมบูรณ์

   $a + b = -1, \qquad 3a - 2b = 7$

   ทั้ง $x$ และ $y$ ต้องไม่เป็นศูนย์อยู่แล้วสมการเดิมจึงมีความหมาย จึงไม่มีคำตอบใดหายไป

2. 2

   กำจัดตัวไม่รู้ค่าหนึ่งตัว จากสมการแรกได้ $a = -1 - b$ แทนลงในสมการที่สอง

   $3(-1 - b) - 2b = 7 \quad\Longrightarrow\quad -3 - 5b = 7 \quad\Longrightarrow\quad b = -2$

3. 3

   แทนค่าย้อนกลับเพื่อหา a

   $a = -1 - (-2) = 1$

4. 4

   ถอดการแทนค่ากลับคืน เนื่องจาก $a = \tfrac1x = 1$ จึงได้ $x = 1$ และเนื่องจาก $b = \tfrac1y = -2$ จึงได้

   $y = -\frac{1}{2}$

   ทั้งสองค่าไม่เป็นศูนย์ จึงใช้ได้ทั้งคู่

5. 5

   ตรวจในสมการเดิม $\tfrac{1}{1} + \tfrac{1}{-1/2} = 1 - 2 = -1$ และ $\tfrac{3}{1} - \tfrac{2}{-1/2} = 3 + 4 = 7$ เป็นจริงพอดีทั้งสองสมการ