จงแก้อสมการ |2x − 1| ≤ 3

Step-by-step solution

1. 1

   แปลง $|A|\le b$ ให้เป็นโซ่อสมการชุดเดียว ค่าสัมบูรณ์วัดระยะทางจาก $0$ การกำหนดให้มันมีค่าไม่เกิน $3$ จึงบีบให้ $2x-1$ อยู่ในแถบปิดระหว่าง $-3$ กับ $3$

   $-3\le2x-1\le3$

   เนื่องจากความสัมพันธ์เป็นแบบ ไม่เกิน (ไม่ใช่ อย่างน้อย) ผลลัพธ์จึงเป็นช่วงที่มีขอบเขตหนึ่งช่วง ไม่ใช่รังสีสองเส้น ทิศของอสมการเป็นตัวกำหนดรูปร่างของคำตอบ

2. 2

   บวก 1 เข้าทั้งสามส่วน การบวกค่าคงตัวเข้าทุกส่วนไม่กระทบทิศของอสมการทั้งสองข้าง

   $-3+1\le2x\le3+1\qquad\Longrightarrow\qquad-2\le2x\le4$

3. 3

   หารทั้งสามส่วนด้วย 2 ตัวหารเป็นบวก จึงไม่มีการกลับเครื่องหมาย

   $-1\le x\le2$

4. 4

   เขียนคำตอบเป็นช่วงปิด

   $[-1,2]$

   จุดปลายทั้งสอง รวมอยู่ในคำตอบ เพราะโจทย์เดิมยอมให้เท่ากันได้ วงเล็บเหลี่ยมบันทึกข้อเท็จจริงนี้ไว้พอดี

5. 5

   ตรวจจุดปลายและบริเวณนอกช่วง ที่ $x=-1$: $|2(-1)-1|=|-3|=3\le3$ ✓ ที่ $x=2$: $|4-1|=3\le3$ ✓ ที่จุดกึ่งกลาง $x=\tfrac12$: $|0|=0$ ✓ ส่วนนอกช่วงออกไปเล็กน้อย $x=3$ ให้ $|5|=5$ ✗ การเทียบอสมการดิบกับ $[-1,2]$ ที่จุดจำนวนตรรกยะแบบตรงตัว $90$ จุด ตรงกันทุกจุด ✓ สังเกตว่าช่วงนี้มีจุดศูนย์กลางที่ $x=\tfrac12$ ซึ่งเป็นจุดที่ $2x-1=0$ และมีรัศมี $\tfrac32$