แก้สมการ (2x − 3)² − (x − 1)² = 0

Step-by-step solution

1. 1

   สังเกตโครงสร้างผลต่างกำลังสอง ทั้งสองพจน์เป็นกำลังสองสมบูรณ์ของนิพจน์เชิงเส้นอยู่แล้ว ดังนั้น

   $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B) \qquad \text{โดย } A = 2x - 3, \ B = x - 1$

   ไม่ต้องกระจายอะไรเลย สมการแยกตัวประกอบได้ทันที

2. 2

   สร้างตัวประกอบตัวแรก โดยกระจายเครื่องหมายลบให้ครบ

   $A - B = (2x - 3) - (x - 1) = 2x - 3 - x + 1 = x - 2$

   การลบ $-1$ กลายเป็น $+1$ การลืมกลับเครื่องหมายตรงนี้คือความผิดพลาดที่พบบ่อย และจะให้ $x - 4$ แทน

3. 3

   สร้างตัวประกอบตัวที่สอง

   $A + B = (2x - 3) + (x - 1) = 3x - 4$

   สมการจึงกลายเป็น

   $(x - 2)(3x - 4) = 0$

4. 4

   แก้ตัวประกอบเชิงเส้นทีละตัว

   $x - 2 = 0 \ \Rightarrow \ x = 2, \qquad 3x - 4 = 0 \ \Rightarrow \ x = \frac{4}{3}$

5. 5

   ตรวจทั้งสองราก ที่ $x = 2$: $(4-3)^2 - (2-1)^2 = 1 - 1 = 0 \ \checkmark$ ที่ $x = \tfrac43$: $\left(\tfrac83 - 3\right)^2 - \left(\tfrac43 - 1\right)^2 = \tfrac19 - \tfrac19 = 0 \ \checkmark$ ในเชิงเรขาคณิต $(2x-3)^2 = (x-1)^2$ หมายถึง $|2x-3| = |x-1|$ และรากทั้งสองก็คือกรณี $2x - 3 = x - 1$ กับ $2x - 3 = -(x-1)$ พอดี