จงทำตัวส่วนให้เป็นจำนวนตรรกยะ แล้วทำนิพจน์ 2 หารด้วย (รากที่สองของ 7 บวก รากที่สองของ 2) ให้อยู่ในรูปอย่างง่าย

Step-by-step solution

1. 1

   เข้าใจก่อนว่าทำไมการคูณครั้งเดียวธรรมดาจึงไม่พอ การคูณทั้งเศษและส่วนด้วย $\sqrt{7}$ เพียงอย่างเดียวจะทิ้ง $\sqrt{14}$ ไว้ในตัวส่วน ผลบวกของรากที่ต่างกันสองตัว ต้องใช้สังยุค เพราะมีเพียงแบบรูปผลต่างกำลังสองเท่านั้นที่ล้างรากทั้งสองตัวได้พร้อมกัน

2. 2

   คูณด้วยสังยุคหารด้วยตัวมันเอง สังยุคของ $\sqrt{7}+\sqrt{2}$ คือ $\sqrt{7}-\sqrt{2}$ การคูณด้วย $\dfrac{\sqrt7-\sqrt2}{\sqrt7-\sqrt2}$ คือการคูณด้วย $1$ ค่าจึงไม่เปลี่ยน

   $\frac{2}{\sqrt{7}+\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{7}-\sqrt{2}}{\sqrt{7}-\sqrt{2}}$

3. 3

   กระจายตัวส่วนด้วย $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ พจน์ไขว้ตัดกันหมด ซึ่งเป็นจุดประสงค์พอดี

   $(\sqrt{7}+\sqrt{2})(\sqrt{7}-\sqrt{2}) = (\sqrt7)^2-(\sqrt2)^2 = 7-2 = 5$

4. 4

   แจกแจงในตัวเศษ

   $2(\sqrt{7}-\sqrt{2}) = 2\sqrt{7}-2\sqrt{2}$

   ผลลัพธ์คือ $\dfrac{2\sqrt7-2\sqrt2}{5}$

5. 5

   ตรวจว่าลดรูปต่อได้อีกหรือไม่ ตัวหารร่วมมากของ $2$, $2$ และ $5$ คือ $1$ จึงตัดอะไรไม่ได้อีก จะเขียนเป็น $\dfrac{2(\sqrt7-\sqrt2)}{5}$ ก็ได้

6. 6

   ตรวจเชิงตัวเลข $\sqrt7\approx2.6458$ และ $\sqrt2\approx1.4142$ ดังนั้นค่าเดิมคือ $\tfrac{2}{4.0600}\approx0.4926$ ส่วนคำตอบคือ $\tfrac{2(1.2316)}{5}\approx0.4926$ ตรงกัน