Algebra · real student question

แก้อสมการลูกโซ่ (x + 1)(x + 2) ≥ (x + 3)(x + 4) ≥ (x + 5)(x + 6) แล้วเขียนเซตคำตอบในรูปช่วง

Question

แก้อสมการลูกโซ่

(x+1)(x+2) ≥ (x+3)(x+4) ≥ (x+5)(x+6)(x+1)(x+2)\ \ge\ (x+3)(x+4)\ \ge\ (x+5)(x+6)

แล้วเขียนเซตคำตอบในรูปช่วง

Step-by-step solution

  1. แยกลูกโซ่ออกเป็นสองอสมการ ข้อความรูป A≥B≥CA\ge B\ge C เป็นการเขียนย่อของเงื่อนไขสองข้อที่ต้องเป็นจริง พร้อมกัน:

    (I)(x+1)(x+2)≥(x+3)(x+4),(II)(x+3)(x+4)≥(x+5)(x+6)\text{(I)}\quad (x+1)(x+2)\ge(x+3)(x+4),\qquad \text{(II)}\quad (x+3)(x+4)\ge(x+5)(x+6)

    คำตอบสุดท้ายคืออินเตอร์เซกชันของเซตคำตอบทั้งสอง ไม่ใช่ยูเนียน หลายคนอยากข้ามไปเทียบเฉพาะนิพจน์ริมนอกสองก้อน คือ (x+1)(x+2)(x+1)(x+2) กับ (x+5)(x+6)(x+5)(x+6) เลย แต่นั่นเป็นเงื่อนไขที่อ่อนกว่า และจะให้เซตคำตอบที่ผิดเพราะกว้างเกินไป

  2. กระจายทั้งสองข้างของ (I) แล้วดูพจน์กำลังสองตัดกัน เมื่อคูณกระจายออกมาจะได้

    x2+3x+2 ≥ x2+7x+12x^2+3x+2\ \ge\ x^2+7x+12

    ทั้งสองข้างมีพจน์นำ x2x^2 เหมือนกันเป๊ะ การลบ x2x^2 ออกจากทั้งสองข้างจึงทำได้ และเหลืออสมการเชิงเส้น

    3x+2 ≥ 7x+123x+2\ \ge\ 7x+12

    การตัดกันนี้คือหัวใจของโจทย์ เพราะผลคูณของพจน์ที่เลื่อนกันทีละหนึ่งมีสัมประสิทธิ์นำเป็น 11 ทั้งหมด เราจึงไม่ต้องทำตารางเครื่องหมายหรือวิเคราะห์พาราโบลาเลย

  3. แก้อสมการเชิงเส้น (I) ย้าย xx ไปรวมข้างเดียวกัน:

    3x+2≥7x+12 ⟹ −10≥4x ⟹ x≤−104=−523x+2\ge 7x+12\ \Longrightarrow\ -10\ge 4x\ \Longrightarrow\ x\le-\frac{10}{4}=-\frac{5}{2}

    การหารด้วยจำนวนบวก 44 ไม่ทำให้เครื่องหมายอสมการกลับด้าน ทิศทางจะกลับก็ต่อเมื่อหารหรือคูณด้วยจำนวนลบเท่านั้น อ่าน −52≥x-\tfrac52\ge x จากขวาไปซ้ายก็ได้ x≤−52x\le-\tfrac52

  4. ทำแบบเดียวกันกับ (II) เมื่อกระจายออกมา

    x2+7x+12 ≥ x2+11x+30 ⟹ 7x+12 ≥ 11x+30x^2+7x+12\ \ge\ x^2+11x+30\ \Longrightarrow\ 7x+12\ \ge\ 11x+30

    −18 ≥ 4x ⟹ x≤−184=−92-18\ \ge\ 4x\ \Longrightarrow\ x\le-\frac{18}{4}=-\frac{9}{2}

  5. นำเงื่อนไขทั้งสองมาอินเตอร์เซกกัน เราต้องการ x≤−52x\le-\tfrac52 และ x≤−92x\le-\tfrac92 พร้อมกัน เนื่องจาก −92=−4.5-\tfrac92=-4.5 อยู่ทางซ้ายของ −52=−2.5-\tfrac52=-2.5 เงื่อนไขข้อที่สองจึงเข้มกว่า และมันบังคับให้เงื่อนไขข้อแรกเป็นจริงโดยอัตโนมัติ

    x≤−92⟺x∈(−∞, −92]x\le-\frac{9}{2}\quad\Longleftrightarrow\quad x\in\left(-\infty,\,-\frac{9}{2}\right]

  6. ลองแทนค่าหนึ่งค่าที่อยู่ในคำตอบ และอีกค่าที่อยู่นอกคำตอบ ที่ x=−5x=-5: (−4)(−3)=12(-4)(-3)=12, (−2)(−1)=2(-2)(-1)=2, (0)(1)=0(0)(1)=0 และ 12≥2≥012\ge2\ge0 เป็นจริง ✓ ที่ x=−4x=-4 (ซึ่งสอดคล้องกับ (I) แต่ไม่สอดคล้องกับ (II)): (−3)(−2)=6(-3)(-2)=6, (−1)(0)=0(-1)(0)=0, (1)(2)=2(1)(2)=2 และ 0≥20\ge2 เป็นเท็จ ✗ ตรงนี้ยืนยันว่าการอินเตอร์เซกแทนการยูเนียนคือทางที่ถูก และจุดปลาย x=−92x=-\tfrac92 ต้องรวมอยู่ด้วย เพราะอสมการทั้งสองข้ออนุญาตให้เท่ากันได้

Answer

x≤−92,กล่าวคือ x∈(−∞, −92]x\le-\frac{9}{2},\qquad \text{กล่าวคือ } x\in\left(-\infty,\,-\tfrac{9}{2}\right]

Need to solve a different problem like this? Open the solver →

Related questions