โรงละครแห่งหนึ่งขายบัตรผู้ใหญ่ต่อบัตรเด็กในอัตราส่วน 9 : 4 ในวันแสดงขายบัตรผู้ใหญ่เพิ่มอีก 20 ใบ และไม่ได้ขายบัตรเด็กเพิ่ม ทำให้อัตราส่วนกลายเป็น 8 : 3 เดิมขายบัตรแต่ละประเภทไปกี่ใบ และขายบัตรผู้ใหญ่ไปทั้งหมดกี่ใบ

Step-by-step solution

1. 1

   เปลี่ยนอัตราส่วนแรกให้เป็นนิพจน์ที่มีตัวไม่ทราบค่าเพียงตัวเดียว อัตราส่วนกำหนดเพียงสัดส่วนเท่านั้น จึงต้องใส่ตัวคูณ $k$ เข้าไป

   $\text{ผู้ใหญ่}=9k,\qquad \text{เด็ก}=4k.$

   ถ้าใช้ตัวไม่ทราบค่าแยกกันสองตัว ระบบจะมีข้อมูลไม่พอ ตัวคูณนี้เองที่ทำให้สมการเพียงสมการเดียวก็เพียงพอ

2. 2

   เขียนสถานการณ์หลังขายเพิ่ม มีเพียงจำนวนบัตรผู้ใหญ่ที่เปลี่ยนไป

   $\text{ผู้ใหญ่}=9k+20,\qquad \text{เด็ก}=4k.$

3. 3

   ตั้งอัตราส่วนใหม่ให้เท่ากับ 8 : 3

   $\frac{9k+20}{4k}=\frac{8}{3}.$

4. 4

   คูณไขว้แล้วแก้หา k

   $3(9k+20)=8(4k)\ \Longrightarrow\ 27k+60=32k\ \Longrightarrow\ 5k=60\ \Longrightarrow\ k=12.$

5. 5

   แปลงกลับเป็นจำนวนบัตรจริง

   $\text{ผู้ใหญ่ก่อนหน้า}=9(12)=108,\qquad \text{เด็ก}=4(12)=48,$
   $\text{ผู้ใหญ่หลังจากนั้น}=108+20=128.$

6. 6

   ตรวจอัตราส่วนทั้งสอง ก่อนหน้า: $108:48$ หารทั้งคู่ด้วย $12$ ได้ $9:4$ ✓ หลังจากนั้น: $128:48$ หารทั้งคู่ด้วย $16$ ได้ $8:3$ ✓ สัดส่วนบัตรผู้ใหญ่เพิ่มจาก $\tfrac{9}{13}$ เป็น $\tfrac{8}{11}$ ของบัตรทั้งหมด ซึ่งสอดคล้องกับการเพิ่มเฉพาะบัตรผู้ใหญ่