จงพิจารณาว่า f(x) = x√(x + 9) เป็นฟังก์ชันคู่ คี่ หรือไม่ใช่ทั้งสองอย่าง โดยตรวจทั้งเชิงพีชคณิต เชิงกราฟ และเชิงตัวเลข ด้วยการเทียบ f(x) กับ f(−x)

Step-by-step solution

1. 1

   ทบทวนเกณฑ์ทดสอบสองข้อ ฟังก์ชัน $f$ เป็นคู่เมื่อ $f(-x) = f(x)$ สำหรับ $x$ ทุกค่าในโดเมน (สมมาตรรอบแกน $y$) และเป็นคี่เมื่อ $f(-x) = -f(x)$ (สมมาตรรอบจุดกำเนิด) ถ้าไม่มีเอกลักษณ์ใดเป็นจริงทั่วทั้งโดเมน คำตอบก็คือ "ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง" และฟังก์ชันส่วนใหญ่ก็เป็นเช่นนั้น

2. 2

   ตรวจโดเมนก่อน ค่าใต้กรณฑ์ต้องสอดคล้องกับ $x + 9 \ge 0$ โดเมนจึงเป็น $[-9, \infty)$ ช่วงนี้ไม่สมมาตรรอบ $0$ เพราะ $x = 20$ อยู่ในโดเมนแต่ $x = -20$ ไม่อยู่ ฟังก์ชันคู่หรือคี่ต้องมีโดเมนสมมาตร ข้อสังเกตนี้เพียงข้อเดียวจึงบังคับคำตอบไว้แล้ว ก่อนจะลงมือทำพีชคณิตเสียอีก

3. 3

   คำนวณ $f(-x)$ เชิงพีชคณิต แทน $x$ ด้วย $-x$ ทุกที่

   $f(-x) = (-x)\sqrt{-x+9} = -x\sqrt{9-x}$

   เทียบกับ $f(x) = x\sqrt{x+9}$ และ $-f(x) = -x\sqrt{x+9}$ ค่าในกรณฑ์ต่างกัน คือ $\sqrt{9-x}$ กับ $\sqrt{x+9}$ ดังนั้น $f(-x)$ จึงไม่เท่ากับอันใดเลย

4. 4

   ยืนยันเชิงตัวเลข คำนวณที่คู่ค่าสมมาตรสองคู่

   $x$	$f(x)$
   $1$	$1\sqrt{10} \approx 3.16$
   $-1$	$-1\sqrt{8} \approx -2.83$
   $4$	$4\sqrt{13} \approx 14.42$
   $-4$	$-4\sqrt{5} \approx -8.94$

   ถ้า $f$ เป็นฟังก์ชันคู่ ต้องได้ $f(-1) = f(1)$ แต่ $-2.83 \neq 3.16$ ถ้า $f$ เป็นฟังก์ชันคี่ ต้องได้ $f(-1) = -f(1) = -3.16$ แต่ $f(-1) = -2.83$ ไม่ผ่านทั้งสองข้อ และคู่ $\pm 4$ ก็ไม่ผ่านในลักษณะเดียวกัน

5. 5

   อ่านกราฟด้วยแนวคิดเดียวกัน เส้นโค้งเริ่มที่ $(-9, 0)$ ดิ่งลงถึงค่าต่ำสุดที่ $x = -6$ พอดี แล้วพุ่งขึ้นไม่มีขอบเขตทางขวา ส่วนทางซ้ายของ $x = -9$ ไม่มีอะไรเลย มันจึงไม่สมมาตรทั้งรอบแกน $y$ และรอบจุดกำเนิด

6. 6

   สรุป เกณฑ์ทั้งสามข้อให้ผลตรงกัน $f(x) = x\sqrt{x+9}$ ไม่ใช่ทั้งฟังก์ชันคู่และฟังก์ชันคี่ กรณีที่เฉียดไปนิดเดียวนั้นให้บทเรียนที่ดี เพราะ $x\sqrt{x^2+9}$ จะ เป็นฟังก์ชันคี่ เนื่องจากการยกกำลังสองของ $x$ ทำให้ค่าใต้กรณฑ์ไม่ไวต่อการเปลี่ยนเครื่องหมาย