แก้สมการ 2x = 2ˣ

Step-by-step solution

1. 1

   ลองค่าจำนวนน้อย ๆ ก่อน สมการผสมพจน์เชิงเส้นกับพจน์เลขชี้กำลัง จึงไม่มีการจัดรูปเชิงพีชคณิตใดแยก $x$ ออกมาได้ ลองแทนจำนวนเต็ม:

   $x=1:\ 2(1)=2\ \text{และ}\ 2^{1}=2\ \checkmark$

   $x=2:\ 2(2)=4\ \text{และ}\ 2^{2}=4\ \checkmark$

   ทั้งคู่เป็นคำตอบที่แน่นอน ✓ คำถามต่อไปคือยังมีคำตอบอื่นอีกหรือไม่

2. 2

   เขียนใหม่ให้เป็นฟังก์ชันเดียว ให้

   $f(x)=2^{x}-2x$

   คำตอบของสมการเดิมก็คือศูนย์ของ $f$ พอดี เรารู้แล้วว่า $f(1)=0$ และ $f(2)=0$

3. 3

   ใช้ความคอนเวกซ์จำกัดจำนวนราก ฟังก์ชัน $2^{x}$ เป็นคอนเวกซ์ อนุพันธ์อันดับสองของมัน $(\ln2)^{2}2^{x}$ เป็นบวกทุกที่ ขณะที่ $2x$ เป็นเส้นตรง เส้นตรงตัดเส้นโค้งคอนเวกซ์อย่างเข้มได้ไม่เกินสองครั้ง เมื่อเรามีจุดตัดสองจุดอยู่ในมือแล้ว จึงไม่มีจุดอื่นอีก

4. 4

   ยืนยันรูปร่างด้วยการสุ่มค่า $f(0)=1-0=1>0$, $f(1.5)=2^{1.5}-3\approx2.828-3=-0.172<0$ และ $f(3)=8-6=2>0$ ✓ รูปแบบ บวก ลบ บวก แสดงว่า $f$ ดิ่งลงต่ำกว่าศูนย์เฉพาะระหว่าง $x=1$ กับ $x=2$ และเป็นบวกอยู่ข้างนอก คือเปลี่ยนเครื่องหมายพอดีสองครั้ง จึงมีรากพอดีสองราก

5. 5

   เขียนคำตอบให้ครบ

   $x=1\qquad\text{หรือ}\qquad x=2$

   สังเกตว่ากรณีนี้พิเศษเพียงใด: $x=1$ เป็นคำตอบของ $b^{x}=bx$ สำหรับฐาน $b$ ทุกค่า เพราะทั้งสองข้างเท่ากับ $b$ สิ่งที่ทำให้ฐาน $2$ โดดเด่นคือจุดตัดที่สอง เงื่อนไข $b^{2}=2b$ บังคับให้ $b=2$ จึงไม่มีฐานอื่นที่ได้คู่จำนวนเต็ม เช่นถ้า $b=3$ รากที่สองจะเป็นจำนวนอตรรกยะ $x\approx 0.826018$