จงแก้อสมการ |2x − 3| ≤ x − 1

Step-by-step solution

1. 1

   บังคับให้ข้างขวาไม่เป็นลบก่อน ข้างซ้ายเป็นค่าสัมบูรณ์ จึงมีค่า $\ge 0$ ถ้า $x-1<0$ อสมการจะเป็นไปไม่ได้ ซึ่งให้เงื่อนไขบังคับข้อหนึ่ง

   $x-1\ge 0\quad\Longrightarrow\quad x\ge 1$

   ด่านนี้เองที่ทำให้ข้างขวาแบบมีตัวแปรต่างจากข้างขวาที่เป็นตัวเลข ถ้าข้ามไปจะเก็บคำตอบผีติดมาได้

2. 2

   แทนเครื่องหมายค่าสัมบูรณ์ด้วยอสมการประกบ สำหรับ $b\ge 0$ อสมการ $|A|\le b$ สมมูลกับ $-b\le A\le b$ โดยที่ $A=2x-3$ และ $b=x-1$

   $-(x-1)\le 2x-3\le x-1$

3. 3

   แก้ครึ่งซ้าย กระจายแล้วย้ายข้าง

   $-x+1\le 2x-3\;\Longrightarrow\;4\le 3x\;\Longrightarrow\;x\ge\frac{4}{3}$

4. 4

   แก้ครึ่งขวา ลบ $x$ แล้วบวก $3$

   $2x-3\le x-1\;\Longrightarrow\;x\le 2$

5. 5

   หาอินเตอร์เซกชันของเงื่อนไขทั้งสาม เราต้องการ $x\ge 1$, $x\ge\frac43$ และ $x\le 2$ พร้อมกัน เงื่อนไขที่บีบจริงคือสองข้อหลัง

   $\frac{4}{3}\le x\le 2$

   ตรวจจุดปลาย: ที่ $x=\tfrac43$ ได้ $\left|\tfrac83-3\right|=\tfrac13$ และ $x-1=\tfrac13$ $\checkmark$ ที่ $x=2$ ได้ $|1|=1$ และ $x-1=1$ $\checkmark$ ส่วนนอกช่วง $x=3$ ให้ $|3|=3\not\le 2$ $\checkmark$