แก้สมการ 2x² − x − 15 = 0

Step-by-step solution

1. 1

   ตั้งวิธี ac เมื่อ $a=2$, $b=-1$, $c=-15$ ให้มองหาจำนวนสองจำนวนที่มีผลคูณเป็น $ac=2(-15)=-30$ และมีผลบวกเป็น $b=-1$ เนื่องจาก $a\neq 1$ การแยกตัวประกอบของ $c$ เพียงอย่างเดียวจะใช้ไม่ได้

2. 2

   หาคู่จำนวน คู่ตัวประกอบของ $-30$ ได้แก่ $(1,-30),(2,-15),(3,-10),(5,-6),(6,-5),(10,-3)$ คู่ที่บวกกันได้ $-1$ คือ $5$ กับ $-6$

3. 3

   แตกพจน์กลางแล้วจัดกลุ่ม

   $2x^{2}+5x-6x-15=0$

   $x(2x+5)-3(2x+5)=0$

   $(2x+5)(x-3)=0$

   วงเล็บ $(2x+5)$ ที่ซ้ำกันยืนยันว่าแตกพจน์ถูกต้อง

4. 4

   ใช้สมบัติผลคูณเป็นศูนย์

   $2x+5=0\Rightarrow x=-\frac52,\qquad x-3=0\Rightarrow x=3$

   $\boxed{x=3\ \text{หรือ}\ x=-\tfrac52}$

5. 5

   ตรวจรากทั้งสอง ที่ $x=3$: $2(9)-3-15=18-18=0$ ✓ ที่ $x=-\tfrac52$: $2\left(\tfrac{25}{4}\right)+\tfrac52-15=\tfrac{25}{2}+\tfrac52-15=15-15=0$ ✓

6. 6

   ยืนยันด้วยเวียตาและด้วยดิสคริมิแนนต์ ผลรวมของรากต้องเท่ากับ $-b/a=\tfrac12$ และผลคูณต้องเท่ากับ $c/a=-\tfrac{15}{2}$: $3-\tfrac52=\tfrac12$ ✓ และ $3\left(-\tfrac52\right)=-\tfrac{15}{2}$ ✓ ดิสคริมิแนนต์ $1+120=121=11^{2}$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ซึ่งเป็นเหตุผลที่พหุนามกำลังสองนี้แยกตัวประกอบบนจำนวนตรรกยะได้ตั้งแต่แรก