จงแก้สมการ 5^(x+2) = 3^(5−x) หา x

Step-by-step solution

1. 1

   เข้าใจว่าทำไมจึงเลี่ยงลอการิทึมไม่ได้ ฐาน $5$ กับ $3$ ไม่มีกำลังร่วมกัน จึงจับเลขชี้กำลังมาเท่ากันตรง ๆ ไม่ได้ การใส่ลอการิทึมทั้งสองข้างคือวิธีมาตรฐาน และใช้ฐานใดก็ได้ เพราะฐานจะตัดกันหายไปในอัตราส่วนสุดท้าย

2. 2

   ใส่ลอการิทึมธรรมชาติแล้วดึงเลขชี้กำลังลงมา ใช้ $\ln(A^k)=k\ln A$

   $(x+2)\ln5=(5-x)\ln3$

   ตอนนี้สมการเป็นเชิงเส้นใน $x$ แล้ว โดยมี $\ln5$ และ $\ln3$ ทำหน้าที่เป็นค่าคงตัวธรรมดา

3. 3

   กระจายแล้วรวมพจน์ x

   $x\ln5+2\ln5=5\ln3-x\ln3\qquad\Longrightarrow\qquad x\ln5+x\ln3=5\ln3-2\ln5$

   พจน์ $x$ ทั้งสองย้ายมาข้างซ้าย ทำให้สัมประสิทธิ์เป็นบวก

4. 4

   ดึงตัวประกอบแล้วใช้กฎผลคูณของลอการิทึม

   $x(\ln5+\ln3)=5\ln3-2\ln5$

   เนื่องจาก $\ln5+\ln3=\ln(5\cdot3)=\ln15$ จึงจัดรูปได้เป็น

   $x=\frac{5\ln3-2\ln5}{\ln15}$

5. 5

   หาค่า และแก้ทศนิยมที่มักถูกอ้างผิด เมื่อ $\ln3=1.098612$, $\ln5=1.609438$ และ $\ln15=2.708050$

   $x=\frac{5(1.098612)-2(1.609438)}{2.708050}=\frac{5.493060-3.218876}{2.708050}=\frac{2.274184}{2.708050}=0.839787$

   ดังนั้น $x\approx0.8398$ บางแห่งให้ค่า $1.037$ สำหรับสมการนี้ แต่นั่นผิด ดูการตรวจในขั้นถัดไป

6. 6

   ตรวจด้วยการแทนค่า เมื่อ $x=0.8397871$ จะได้ $5^{x+2}=5^{2.8397871}=96.5886$ และ $3^{5-x}=3^{4.1602129}=96.5886$ เท่ากันถึงเลขนัยสำคัญเจ็ดตัว ✓ ส่วนถ้าลองค่าที่ผิด $x=1.037$ จะได้ $5^{3.037}=132.67$ เทียบกับ $3^{3.963}=77.77$ ซึ่งห่างกันลิบลับ ✗