แก้สมการ (3x − 24) ยกกำลังสี่ คูณ 7 ยกกำลังสาม เท่ากับ 2 คูณ 7 ยกกำลังสี่

Step-by-step solution

1. 1

   หารทั้งสองข้างด้วยกำลังของ 7 ที่มีร่วมกัน $(3x-24)^4 = \frac{2\cdot 7^4}{7^3} = 2\cdot 7^{4-3} = 2\cdot 7 = 14.$ การตัด $7^3$ ทิ้งก่อนช่วยให้ไม่ต้องคำนวณ $7^4 = 2401$ เลย

2. 2

   ถามว่า 14 เป็นกำลังสี่สมบูรณ์หรือไม่ กำลังสี่ของจำนวนเต็มเล็ก ๆ คือ $1, 16, 81, 256,\ldots$ และ $14$ ไม่อยู่ในนั้น ดังนั้นไม่มีค่า $3x-24$ ที่เป็นจำนวนเต็ม (หรือแม้แต่จำนวนตรรกยะ) ที่ใช้ได้ และในขอบเขตของจำนวนนับ สมการนี้จึงไม่มีคำตอบ

3. 3

   ถอดรากที่สี่บนจำนวนจริง รากอันดับคู่มีสองกิ่งจริง: $3x-24 = \pm\sqrt[4]{14} = \pm 1.9343364.$ รากที่สี่อีกสองตัวของ $14$ เป็นจำนวนจินตภาพล้วน จึงถูกตัดออกเมื่อต้องการคำตอบจริง

4. 4

   แก้ทีละกิ่ง $3x = 24\pm 1.9343364 \quad\Longrightarrow\quad x = 8\pm\frac{\sqrt[4]{14}}{3},$ ได้ $x \approx 8.6447788$ หรือ $x \approx 7.3552212$

5. 5

   ตรวจรากหนึ่งราก เมื่อ $x=8.6447788$ ได้ $3x-24 = 1.9343364$ และ $(1.9343364)^4 = 14.0000$ เมื่อคูณด้วย $7^3=343$ ได้ $4802 = 2\cdot2401 = 2\cdot7^4$ ถูกต้อง

6. 6

   ตอบให้ตรงระดับของโจทย์ สำหรับแบบฝึกหัดในโรงเรียนที่คาดหวังจำนวนเต็ม คำตอบคือ ไม่มีคำตอบ แต่บนจำนวนจริงคำตอบคือคู่สมมาตร $8\pm\tfrac{\sqrt[4]{14}}{3}$ ซึ่งมีจุดศูนย์กลางที่ $x=8$ เพราะ $3x-24 = 3(x-8)$