แก้สมการ 4x² − x − 2 = 0

Step-by-step solution

1. 1

   ระบุสัมประสิทธิ์อย่างระมัดระวัง พจน์กลางคือ $-x$ ดังนั้น $b=-1$ ไม่ใช่ $1$:

   $a=4,\qquad b=-1,\qquad c=-2$

2. 2

   ลองวิธี AC ก่อนแล้วจะเห็นว่าใช้ไม่ได้ เราต้องการจำนวนเต็มที่มีผลคูณ $ac=-8$ และผลบวก $-1$ คู่ที่เป็นไปได้คือ $(1,-8),(2,-4),(4,-2),(8,-1)$ ซึ่งมีผลบวก $-7,-2,2,7$ ไม่มีคู่ใดให้ $-1$ จึงไม่มีการแยกตัวประกอบด้วยจำนวนเต็ม และสูตรคือเครื่องมือที่ถูกต้อง

3. 3

   คำนวณดิสคริมิแนนต์

   $\Delta=(-1)^2-4(4)(-2)=1+32=33$

4. 4

   ใช้สูตรกำลังสอง สังเกตว่า $-b=-(-1)=+1$:

   $x=\frac{1\pm\sqrt{33}}{8}$

   เนื่องจาก $33=3\cdot 11$ ไม่มีตัวประกอบที่เป็นกำลังสอง $\sqrt{33}$ จึงอยู่ในรูปอย่างง่ายแล้ว และไม่มีอะไรตัดกับ $8$ ได้

5. 5

   ตรวจเชิงตัวเลข $\sqrt{33}\approx 5.7446$ ดังนั้น $x\approx 0.8431$ หรือ $x\approx-0.5931$ จากนั้น $4(0.8431)^2-0.8431-2\approx 2.843-2.843\approx 0$ $\checkmark$ เวียตา: ผลรวมของรากเท่ากับ $\tfrac{1}{4}$ และผลคูณเท่ากับ $-\tfrac{1}{2}$ ตรงกับ $-\tfrac{b}{a}$ และ $\tfrac{c}{a}$