กำหนด f(x) = 5x + 2 และ g(x) = x − 6 จงหา (f + g)(x) และระบุโดเมนของมัน

Step-by-step solution

1. 1

   เขียนความหมายของเครื่องหมายบวกระหว่างฟังก์ชันสองฟังก์ชันออกมาก่อน การบวกฟังก์ชันนิยามแบบจุดต่อจุด คือสำหรับอินพุต $x$ ทุกค่า ให้หาค่าจากทั้งสองสูตรแล้วบวกเอาต์พุตเข้าด้วยกัน ในเชิงสัญลักษณ์คือ

   $(f+g)(x)=f(x)+g(x).$

   ไม่มีการดำเนินการใหม่ให้ต้องเรียนรู้ตรงนี้ งานทั้งหมดคือการแทนสูตรทั้งสองลงไป

2. 2

   แทนทั้งสองสูตรลงไป โดยคงวงเล็บของแต่ละสูตรไว้ วงเล็บมีความสำคัญทันทีที่มีการลบปรากฏขึ้นภายหลัง จึงควรสร้างนิสัยนี้ตั้งแต่ตอนนี้

   $(f+g)(x)=(5x+2)+(x-6).$

3. 3

   ถอดวงเล็บแล้วจัดกลุ่มพจน์ที่คล้ายกัน เนื่องจากวงเล็บทุกอันมีเครื่องหมายบวกนำหน้า จึงไม่มีอะไรเปลี่ยนเครื่องหมาย

   $(5x+2)+(x-6)=\underbrace{5x+x}_{\text{พจน์ x}}+\underbrace{2-6}_{\text{ค่าคงตัว}}.$

4. 4

   รวมแต่ละกลุ่ม สัมประสิทธิ์ของ $x$ คือ $5+1=6$ และค่าคงตัวให้ $2-6=-4$

   $(f+g)(x)=6x-4.$

5. 5

   หาโดเมนจากโดเมนของแต่ละชิ้นส่วน ไม่ใช่จากคำตอบ ผลบวกนิยามได้พอดีตรงที่ฟังก์ชันตั้งต้น ทั้งสอง นิยามได้ ทั้ง $f$ และ $g$ เป็นพหุนาม ซึ่งนิยามได้ทุกจำนวนจริง ดังนั้น

   $\text{โดเมนของ}(f+g)=(-\infty,\infty).$

   ลำดับนี้สำคัญ เพราะสำหรับผลหารอย่าง $f/g$ สูตรที่จัดรูปแล้วอาจซ่อนค่าที่ยังต้องตัดออกไว้ จึงต้องอ่านโดเมนจากชิ้นส่วนตั้งต้นเสมอ