แก้อสมการ 2x² + x − 1 > 0

Step-by-step solution

1. 1

   แยกตัวประกอบพหุนามกำลังสอง แตกพจน์กลางด้วยจำนวนสองจำนวนที่มีผลคูณ $2\cdot(-1)=-2$ และผลบวก $+1$ นั่นคือ $+2$ กับ $-1$:

   $2x^2+2x-x-1=2x(x+1)-1(x+1)=(2x-1)(x+1)$

   การแยกตัวประกอบก่อนคุ้มค่าที่จะลงแรง เพราะรากจะปรากฏออกมาโดยไม่ต้องใช้กรณฑ์เลย

2. 2

   อ่านรากออกมา $(2x-1)(x+1)=0$ ให้ $x=\frac12$ และ $x=-1$ สองค่านี้แบ่งเส้นจำนวนออกเป็น $(-\infty,-1)$, $\left(-1,\frac12\right)$ และ $\left(\frac12,\infty\right)$

3. 3

   ทำนายคำตอบจากรูปร่างของกราฟ สัมประสิทธิ์นำ $2>0$ พาราโบลาจึงหงายขึ้น มันเป็นบวกนอกช่วงระหว่างรากทั้งสอง และเป็นลบเฉพาะระหว่างรากเท่านั้น เพียงเท่านี้ก็ได้รูปร่างของคำตอบแล้ว

4. 4

   ยืนยันด้วยจุดทดสอบช่วงละหนึ่งจุด

   $x=-2:\ (-5)(-1)=5>0\qquad x=0:\ (-1)(1)=-1<0\qquad x=1:\ (1)(2)=2>0$

   ตรงกับที่ทำนายไว้ ช่วงด้านนอกใช้ได้ ส่วนช่วงตรงกลางใช้ไม่ได้ ในเชิงโครงสร้าง ผลคูณจะเป็นบวกเมื่อตัวประกอบทั้งสองมีเครื่องหมายเดียวกัน

5. 5

   จัดการจุดปลาย ที่ $x=-1$ และ $x=\frac12$ นิพจน์มีค่าเป็น $0$ พอดี และ $0>0$ เป็นเท็จ อสมการจึงเป็นแบบเข้มที่ปลายทั้งสองด้าน:

   $x\in(-\infty,-1)\cup\left(\tfrac12,\infty\right)$