พหุนามดีกรี 3 f(x) มีศูนย์ที่ -3, 10 และ 6 และสัมประสิทธิ์ของ x³ เท่ากับ 5 จงหาสมการของ f(x)

Step-by-step solution

1. 1

   เปลี่ยนศูนย์แต่ละตัวให้เป็นตัวประกอบ ทฤษฎีบทตัวประกอบบอกว่า $f(r) = 0$ ก็ต่อเมื่อ $(x - r)$ หาร $f(x)$ ลงตัว ศูนย์ $-3$, $10$ และ $6$ จึงให้ตัวประกอบ $(x+3)$, $(x-10)$ และ $(x-6)$ ตามลำดับ ระวังเครื่องหมายให้ดี: ศูนย์ $-3$ ให้ $\bigl(x-(-3)\bigr) = (x+3)$

2. 2

   เผื่อตัวคูณสเกลที่ยังไม่รู้ค่า ตัวประกอบเชิงเส้นสามตัวให้ดีกรี $3$ ก็จริง แต่ยังไม่ครบเรื่อง เพราะการคูณด้วยค่าคงตัวใด ๆ ก็ยังให้ศูนย์ชุดเดิม รูปทั่วไปที่สุดจึงเป็น

   $f(x) = a(x+3)(x-10)(x-6)$

3. 3

   หาค่า $a$ จากสัมประสิทธิ์นำ เมื่อคูณกระจาย ทางเดียวที่จะได้ $x^3$ คือหยิบ $x$ มาจากทุกตัวประกอบ พจน์ $x^3$ จึงเป็น $a \cdot x \cdot x \cdot x = ax^3$ เทียบกับสัมประสิทธิ์ของ $x^3$ ที่โจทย์ให้มา

   $a = 5 \quad\Longrightarrow\quad f(x) = 5(x+3)(x-10)(x-6)$

4. 4

   กระจายให้อยู่ในรูปมาตรฐาน เริ่มจากคูณสองตัวประกอบที่เข้าคู่กันได้สวยก่อน

   $(x+3)(x-10) = x^2 - 7x - 30$

   แล้วคูณด้วยตัวประกอบที่เหลือ

   $(x^2 - 7x - 30)(x-6) = x^3 - 13x^2 + 12x + 180$

   สุดท้ายกระจาย $5$ เข้าไปทุกพจน์

   $f(x) = 5x^3 - 65x^2 + 60x + 900$

5. 5

   ตรวจว่าศูนย์ทั้งสามเป็นศูนย์จริง แทนรากแต่ละตัวลงในรูปมาตรฐานจะได้ $f(-3) = f(6) = f(10) = 0$ และสัมประสิทธิ์ของ $x^3$ เป็น $5$ ตามที่โจทย์กำหนด ทั้งรูปแยกตัวประกอบและรูปกระจายต่างก็เป็นคำตอบที่ถูกต้อง รูปแยกตัวประกอบแสดงศูนย์ให้เห็นชัด ส่วนรูปมาตรฐานแสดงสัมประสิทธิ์