จงจัดรูป √(3 + √5) + √(3 − √5)

Step-by-step solution

1. 1

   ตรวจว่านิพจน์เป็นจำนวนจริงก่อน แล้วจึงตั้งชื่อให้มัน เนื่องจาก $\sqrt5\approx 2.236<3$ ทั้ง $3+\sqrt5$ และ $3-\sqrt5$ จึงเป็นบวก รากที่สองทั้งสองจึงเป็นจำนวนจริงและเป็นบวก ให้

   $S=\sqrt{3+\sqrt5}+\sqrt{3-\sqrt5}$

   การตั้งชื่อให้ผลบวกคือสิ่งที่ทำให้ก้าวต่อไปเป็นไปได้ เพราะรากซ้อนแทบไม่เคยจัดรูปได้ทีละพจน์ แต่ กำลังสอง ของมันมักจัดรูปได้

2. 2

   ยกกำลังสองผลบวกด้วย $(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$ รากที่สองแต่ละตัวหายไปเมื่อถูกยกกำลังสอง

   $S^2=(3+\sqrt5)+(3-\sqrt5)+2\sqrt{(3+\sqrt5)(3-\sqrt5)}$

3. 3

   จัดรูปสองชิ้นที่ง่าย พจน์ $\sqrt5$ ตัดกันในผลบวก และผลคูณใต้รากที่เหลืออยู่เป็นผลต่างกำลังสอง

   $(3+\sqrt5)+(3-\sqrt5)=6,\qquad (3+\sqrt5)(3-\sqrt5)=3^2-(\sqrt5)^2=9-5=4$

   การตัดกันนี้คือเหตุผลทั้งหมดที่เลือกใช้คู่สังยุค

4. 4

   ประกอบ $S^2$ ขึ้นมา

   $S^2=6+2\sqrt4=6+2\cdot 2=10$

5. 5

   เลือกรากที่ถูกต้อง การยกกำลังสองอาจทำให้เกิดเครื่องหมายปลอม จึงต้องตัดสินจากนิพจน์เดิม: $S$ เป็นผลบวกของจำนวนบวกสองจำนวน ดังนั้น $S>0$ และ

   $S=\sqrt{10}$

   ในเชิงตัวเลข $\sqrt{3+\sqrt5}+\sqrt{3-\sqrt5}=2.288246+0.874032=3.162278=\sqrt{10}$ ✓