จงแก้อสมการ 7|w − 6| ≥ 2

Step-by-step solution

1. 1

   แยกค่าสัมบูรณ์ให้อยู่ลำพังก่อนจะแยกกรณีใด ๆ กฎการเขียนใหม่ของ $|A|$ ใช้ได้เมื่อค่าสัมบูรณ์ยืนอยู่ลำพังเท่านั้น ในที่นี้มันถูกคูณด้วย $7$ จึงต้องหารทั้งสองข้างด้วยจำนวน บวก $7$ (ไม่กลับเครื่องหมาย)

   $|w-6|\ge\frac{2}{7}$

2. 2

   แยกค่าสัมบูรณ์แบบมากกว่าหรือเท่ากับออกเป็นรังสีสองเส้น $|A|\ge b$ เมื่อ $b>0$ บอกว่าระยะทางจาก $A$ ไปยัง $0$ อย่างน้อย เท่ากับ $b$ ซึ่งเกิดขึ้นบนสองฝั่งที่ ห่างออก จากจุดกำเนิด ไม่ใช่บริเวณระหว่างกลาง

   $w-6\le-\frac{2}{7}\qquad\text{หรือ}\qquad w-6\ge\frac{2}{7}$

   คำเชื่อมคือ หรือ ไม่ใช่ และ เพราะไม่มี $w$ ตัวใดอยู่ไกลทางซ้ายและไกลทางขวาพร้อมกันได้

3. 3

   แก้แต่ละกิ่งด้วยการบวก 6 เปลี่ยน $6$ ให้เป็นเศษเจ็ดส่วนเพื่อให้รวมเศษส่วนได้สะอาด คือ $6=\tfrac{42}{7}$

   $w\le\frac{42}{7}-\frac{2}{7}=\frac{40}{7}\qquad\text{หรือ}\qquad w\ge\frac{42}{7}+\frac{2}{7}=\frac{44}{7}$

4. 4

   เขียนเซตคำตอบ ในรูปสัญกรณ์ช่วง

   $\left(-\infty,\tfrac{40}{7}\right]\cup\left[\tfrac{44}{7},\infty\right)$

   จุดปลายทั้งสอง รวมอยู่ในคำตอบ เพราะความสัมพันธ์เดิมยอมให้เท่ากันได้ ในเชิงตัวเลข ช่องว่างที่ถูกตัดออกคือช่วงเปิดสั้น ๆ $(5.714\ldots,\,6.285\ldots)$ ซึ่งมีจุดศูนย์กลางที่ $w=6$

5. 5

   ตรวจจุดขอบและช่องว่าง ที่ $w=\tfrac{40}{7}$: $7\left|\tfrac{40}{7}-6\right|=7\cdot\tfrac{2}{7}=2\ge2$ ✓ (เท่ากันพอดี จุดปลายจึงอยู่ในเซต) ที่จุดศูนย์กลาง $w=6$: $7|0|=0$ ซึ่ง ไม่ $\ge2$ ✗ จึงยืนยันช่องว่าง การเทียบอสมการดิบกับเซตคำตอบที่อ้างไว้ ที่จุดจำนวนตรรกยะแบบตรงตัว $500$ จุด ตรงกันทุกจุด ✓