จงหา A ถ้า 5 log x − 4 log(x² + 1) + 5 log(x − 1) = log A

Step-by-step solution

1. 1

   ย้ายสัมประสิทธิ์ทุกตัวเข้าไปเป็นเลขชี้กำลัง กฎเลขชี้กำลัง $k\log M=\log\left(M^k\right)$ ใช้ได้กับทุกพจน์

   $5\log x=\log\left(x^5\right),\qquad 5\log(x-1)=\log\left((x-1)^5\right),\qquad -4\log\left(x^2+1\right)=\log\left(\left(x^2+1\right)^{-4}\right)$

   สัมประสิทธิ์กลายเป็นเลขชี้กำลังของตัวตั้ง ทั้งก้อน เสมอ จึงเป็น $(x^2+1)^{-4}$ ไม่ใช่ $x^{-8}+1$

2. 2

   เปลี่ยนลอการิทึมที่บวกกันให้เป็นผลคูณ โดย $\log M+\log N=\log(MN)$ ทั้งสามพจน์รวมกันเหลืออันเดียว

   $\log\left(x^5\left(x^2+1\right)^{-4}(x-1)^5\right)=\log A$

3. 3

   เขียนเลขชี้กำลังที่เป็นลบใหม่ให้เป็นตัวส่วน เนื่องจาก $M^{-4}=\dfrac{1}{M^{4}}$ ลอการิทึมที่ถูกลบจึงกลายเป็นการหาร ซึ่งก็คือกฎผลหาร $\log M-\log N=\log\frac MN$ ที่มองจากอีกด้านหนึ่ง

   $A=\frac{x^5(x-1)^5}{\left(x^2+1\right)^4}$

4. 4

   ตัดลอการิทึมทิ้งอย่างถูกกฎ $\log$ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ดังนั้น $\log P=\log Q$ บังคับให้ $P=Q$ เมื่อทั้งสองเป็นบวก จึงได้ค่าของ $A$ ออกมาโดยตรงโดยไม่ต้องยกกำลังกลับ

5. 5

   ระบุโดเมน ซึ่งการยุบลอการิทึมแอบขยายให้กว้างขึ้น ข้างซ้ายเดิมต้องการ $x>0$ และ $x-1>0$ นั่นคือ $x>1$ ส่วนสูตรที่ยุบแล้วยินดีรับ $x=0.5$ ด้วยซ้ำ ซึ่ง $A>0$ แต่ $\log(x-1)$ ไม่นิยาม จึงต้องพก $x>1$ ไปพร้อมคำตอบเสมอ

6. 6

   ตรวจที่ค่าที่คำนวณง่าย ที่ $x=2$ ข้างซ้ายเป็น $5\log 2-4\log 5+5\log 1=1.50515-2.79588+0=-1.29073$ ส่วนสูตรให้ $A=\dfrac{32\cdot 1}{625}=0.0512$ และ $\log 0.0512=-1.29073$ ✓