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Arithmetic questions asked by real students

Real arithmetic questions asked by students, solved step by step Every question below was submitted by a real student and answered step by step.

用平方差公式计算 32² − 28²

答案是 240。不用分别算两个平方，直接套 a² − b² = (a − b)(a + b)：差 4 乘以和 60，一行就能得到 240。

竖式计算 1,197,481.24 + 421,496.81

答案是 1,618,978.05。先对齐小数点，把百分位相加（24 + 81 = 105）进位一个整数，再算整数部分 1,197,481 + 421,496 + 1。

31 到 39 之间是偶数、除以 3 又余 1 的人数是多少

俱乐部有 34 人。两人一排没有剩余说明人数是偶数，三人一组剩 1 人说明它除以 3 余 1；范围内同时满足这两条的只有 34。

补全四阶幻方：带负数的 4×4 幻方填空

幻和是 10，直接由已经填满的主对角线 −5 + 0 + 5 + 10 读出。逐格递推可得第一行的 8 和 −2，第二行的 6 和 3，以及 4、−3、−4。

计算 0.6 × 963 − 402.8：先乘后减，答案是 175

答案是 175。按运算顺序先算乘法 0.6 × 963 = 577.8，再减去 402.8；两个数的十分位都是 8，小数部分正好抵消得到整数。

4.7 克换算成纳克：用 SI 词头怎么算

答案：4.7 g = 4.7 × 10⁹ ng = 4,700,000,000 ng。1 纳克等于 10⁻⁹ 克，所以换成更小的单位是乘以 10⁹，而不是除。

4.7 mg 等于多少 kg：跨两级前缀的 10⁻⁶ 换算

4.7 mg = 4.7 × 10⁻⁶ kg = 0.0000047 kg。「毫」是 10⁻³ 克，而 1 克又是 10⁻³ 千克，两级前缀相乘正好合成一个 10⁻⁶ 的换算因子。

5.5 千克等于多少盎司：用精确换算因子来算

答案约为 194.01 盎司。1 千克 = 16/0.45359237 = 35.27396195 盎司，把 5.5 乘上这个因子恰好得到 194.006790725 盎司。

75 m/s 换算成 km/h：量纲分析与乘以 3.6

答案是 270 km/h。先除以 1000 米每千米、再乘以 3600 秒每小时，两个精确因子合起来正好是乘以 3.6，于是 75 × 3.6 = 270。

92 英尺/分钟换算成米/秒：用量纲分析约掉单位

答案是 0.46736 m/s。每英尺乘 0.3048 米，每分钟除以 60 秒：92 × 0.3048 / 60，英尺和分钟作为单位被约掉，方向由约分决定而不是靠猜乘还是除。

1305 美元/吨换算成泰铢/升：用密度和汇率一步步换算

答案约为 38.77 泰铢/升。密度负责把质量换成体积，换算链条是 美元/吨 → 美元/千克 → 美元/升 → 泰铢/升，每一步只做一次乘除。

199 除以 15：商是 13，余数是 4

199 ÷ 15 = 13 余 4，写成带分数是 13 又 4/15，写成小数是 13.2666…。因为 15 除不尽 19，竖式只需要两步就算完。

3/5 除以 2/3 怎么算：分数除法取倒数的完整步骤

3/5 ÷ 2/3 = 9/10。先讲清除以分数为什么要乘倒数，再把除法改写成 3/5 × 3/2，分子分母分别相乘后检查能否约分，最后用小数验算结果确实变大了。

31 ÷ 6.25 怎么算：把除数化成分数 25/4

商是 4.96。先把 6.25 写成 25/4，除以 25/4 就变成乘 4/25，得 124/25 = 4.96，整个过程一次竖式都不用列。

43.782 ÷ 6 怎么算：当整数除，再把小数点落回原位

商是 7.297。除数 6 本来就是整数，所以按 43782 ÷ 6 = 7297 当整数除即可，小数点保持在同一列，最后再乘回去验算一遍。

0.4 × 0.75 ÷ 0.5 等于多少：小数乘除运算顺序详解

0.4 × 0.75 ÷ 0.5 = 0.6，写成分数就是 3/5。乘除同级必须从左往右算，先得 0.3，再除以 0.5（相当于乘 2），最后反推验算。

(0.02)² × (0.03)³ = 1.08 × 10⁻⁸ = 0.0000000108

结果是 0.0000000108，即 1.08 × 10⁻⁸。小数乘方分两块处理：数字部分 2² × 3³ = 4 × 27 = 108；小数位数相加，(0.02)² 有 4 位、(0.03)³ 有 6 位，共 10 位，所以在 108 前补零凑够 10 位小数。用科学记数法写最不容易数错零。

计算 0.4 × 0.75 + 0.5：先乘后加，答案是 0.8

答案是 0.8。按运算顺序先算乘法 0.4 × 0.75 = 0.3，再加上 0.5 得 0.8；若误读成 0.4 ×(0.75 + 0.5)，就会算成 0.5。

计算 1 − (0.3/1.54)：精确值是分数 62/77

答案是 62/77，约 0.80519。先去掉小数得到 30/154，约成 15/77，再把 1 写成 77/77 相减——全程不需要任何四舍五入。

10 的 0.2 次方是多少：就是 10 的五次方根

答案是 10 的五次方根，约等于 1.58489。小数指数 0.2 就是分数 1/5，而分子为 1 的分数指数总表示一个纯粹的方根。

10 的 −2 次方等于多少：写成分数和小数

答案是 1/100，也就是 0.01。负指数的意思是取倒数，所以 10 的 −2 次方就是 1 除以 10 的平方，结果根本不是一个负数。

100 − 15 × 2 + (−204) ÷ 3 按运算顺序怎么算

结果是 2。先算乘除：15 × 2 = 30、−204 ÷ 3 = −68，剩下 100 − 30 − 68 再从左往右算。加一个负数就等于减去它。

计算 [2.7 − (0.7 − 3)] ÷ (−1/5) = −25

先算最里层括号：0.7 − 3 = −2.3，于是大括号里是 2.7 + 2.3 = 5。除以 −1/5 就是乘以 −5，结果为 −25，减负号变加号这一步最容易漏。

(216 × 6⁻⁵)³ × (36⁻²)⁻¹ 求值：统一底数用指数运算法则

结果是 1/36。把 216 = 6³、36 = 6² 全部化成以 6 为底的幂后，只剩指数的加减乘：括号内是 6⁻²，立方得 6⁻⁶，第二个因子是 6⁴，两者相乘得 6⁻²，也就是 1/36，全程不用算大数。

逐步计算 4 − 3 − (−2) − [12 − 3 + 4]

答案是 −10。先算中括号得到 13，再把双重负号化成 +2，最后把 4 − 3 + 2 − 13 严格从左到右算完。

计算 (4.135 + 12.896) − (2 − 0.1415) = 15.1725

先把两个括号各自算出来：17.031 和 1.8585。第二个括号里的那个减法是关键，它让最终答案比随手写的 17.031 − 2 还要大一点。

幂塔 4^2^2^2 − 1 到底等于多少

答案是 4294967295。幂塔要从右往左（也就是从上往下）算：先 2^2^2 = 16，再 4^16 = 2^32 = 4294967296，最后减去 1。

按运算顺序计算 5 − [−2 + 5] − (−3) + 2

结果是 7。先算中括号，−2 + 5 = 3；再把「减去一个负数」− (−3) 改写成 + 3；最后从左往右算：5 − 3 + 3 + 2 = 7。

按运算顺序计算 50 + 50 ÷ 5 − 5!

答案是 −60。阶乘 5! = 120 和除法 50 ÷ 5 = 10 都要先算，最后的加减再从左往右做；注意除号只作用于第二个 50。

计算 7.7 × 0.18 ÷ 1.16，精确结果是 693/580

答案是 693/580 ≈ 1.1948。先乘得 1.386，再把小数化整，除法变成 1386/1160，约去公因数 2 得到 693/580。

当 a = 2148、b = 4 时求 (7012 − a) ÷ b 的值

结果是 1216。代入后先算括号里的 7012 − 2148 = 4864，再除以 4；文中说明括号为什么不能省（去掉后按先除后减会得到 6475），并用乘法回代验算。

计算 (8.25 + 0.498)/(1 − 0.498)，结果保留四位小数

结果约为 17.4263。分子是 8.748，分母是 0.502，先化成精确分数 4374/251，再四舍五入到四位小数。

计算 (8.25 + 0.544)/(1 − 0.544)，结果保留四位小数

结果约为 19.2851。分子相加得 8.794，分母相减得 0.456，再相除；它的精确值是分数 8794/456，也就是 4397/228。

计算乘方式子 8² × 3

结果是 192。指数只管着 8，所以先平方得到 64，再乘以 3；若当成 (8 × 3)² 就会算成 576。

计算 (4/0.02272)(500/75)(5000/590)：别提前四舍五入

乘积约等于 9946.69。把 500/75 和 5000/590 保持成精确分数，就能避开提前取近似带来的误差漂移，否则答案会偏成错误的数值。

计算 [(2/3 − 1/2) ÷ 1/30] × (−2 × 1/10) = −1

最里面的括号得 1/6，除以 1/30 就是乘 30 得 5；第二个括号是 −1/5，两者相乘正好等于 −1。

计算 (∛17 + 10π)/(e⁵ + 90)，结果保留四位小数

结果约为 0.14256。把每个常数先单独算到小数点后五位，这样舍入误差就传不到商的第四位小数上去。

当 m = 776、n = 90、p = 4 时求 (m + n) × p 的值

(776 + 90) × 4 = 3464。先算括号里的加法，再乘以 p；用分配律验算，776×4 + 90×4 = 3104 + 360 = 3464，两条路结果一致。

计算 −2² ÷ (−3/4)² ÷ 2³ = −8/9：负号并没有被平方

没有括号时，−2² 表示 −(2²) = −4，而 (−3/4)² = 9/16 是正的。再从左往右做除法：−4 乘 (16/9) 之后再除以 8，结果是 −8/9。

当 m = 2/5 时求 −(5/6)m − 3/4 的值，结果写成带分数

答案是 −1 又 1/12。−5/6 乘 2/5 时先约掉 5 得 −1/3，再与 −3/4 通分到 12 得 −13/12；两项同号为负，所以是累加而不是抵消。

(−1000) ÷ 25 × (−2) 怎么算：从左往右得 80，不是 20

结果是 80。除法和乘法优先级相同，必须严格从左往右做：−1000 ÷ 25 = −40，再 −40 × (−2) = 80。

当 c = -12 时求 -c + 5/6 的值：负号的陷阱

结果是 77/6，也就是 12 又 5/6。因为 c 本身是负数，-c 就变成 +12，所以式子是 12 + 5/6，而不是很多同学写的 -12 又 5/6。

计算 1/16 − 5 × 1/4 + 5：通分之后一行算完

答案是 61/16 = 3.8125。先算乘法，把 5/4 写成 20/16、把 5 写成 80/16，再合并分子得 (1 − 20 + 80)/16 = 61/16。

计算 |−8 − 5|：先把绝对值里面算完

答案是 13。按运算顺序，绝对值符号相当于括号，要先把里面的减法算成 −13，再取绝对值得到 13；拆成 |−8| − |5| 会错成 3。

(2/5)×(−209/7) + 1041 + 4/5 = 7209/7 ≈ 1029.857

结果是 7209/7，即带分数 1029 又 6/7，约 1029.857。先按运算顺序做乘法得 −418/35，与 4/5 = 28/35 合并成 −78/7，再把 1041 化成 7287/7 相加；负号必须留在分子上，别弄丢。

求 |11 − 12| = x 中的 x：根本不用分类讨论

答案是 x = 1。未知数待在绝对值符号外面，所以这只是纯求值：先算 11 − 12 = −1，再取它到 0 的距离。

展开并化简 √2(√7 + 6√72)，结果是 72 + √14

答案是 72 + √14。分配之后得到 √14 加 6√144；因为 2 × 72 = 144 是完全平方数，第二项塌缩成了有理数 72。

先分三分之一再分剩下的一半，求土地总面积

总面积是 600 平方米。剩下三分之二的一半，其实仍是全部的三分之一，所以最后一份也占三分之一，正好等于 200 平方米。

右边是幂的式子（如 3^14 : 3^12、5² − 4²）时怎么求 x

七题的答案依次是 x = 2、161、13、21、3、14、11。做法都一样：先把右边的幂算成一个数，再把左边的运算一层一层倒着还原。

小于等于 3200000/(4 ln 2 + 3) 的最大整数是 554344

答案是 554,344。分母 4 ln 2 + 3 ≈ 5.772588722，商约为 554,344.0134，小数部分只有 0.0134，离整数边界极近，所以 ln 2 至少要取十位有效数字，过早四舍五入取整就会错。

找一个四位数：既是 12 的倍数，各位数字之积在 25 与 30 之间

1272 就是一个。数字之积只能取 26、27、28、29，其中只有 28 能写成四个 1 到 9 的数字之积且数字和是 3 的倍数；再让末两位组成 4 的倍数，全部解是 1272、2172、2712、7212。

四位数减去它的反序数等于 1458，求这个数

7065 符合条件：7065 − 5607 = 1458。个位必须是 5，用数位展开把条件化成 999a + 90(b − c) = 6453，解得 a = 7、b − c = −6。

四位数是 5 的倍数，减去它的倒序数得 1359，求原数

6405 是一个答案，此外还有 6515、6625、6735、6845、6955。因为差恒等于 999(a − d) + 90(b − c)，由此定出 a − d = 1、b − c = 4。

三分之一种玉米、余下的一半种大豆，大豆占整块地几分之几

大豆占整块菜地的 1/3。余下 2/3 的一半是 1/2 × 2/3 = 1/3，与玉米的份额一样，这一点常常出乎学生意料。

分数列 3/5, 7/11, 11/17, 15/23 中 A 与 B 的最大公约数

最大公约数是 1。第 n 项是 (4n − 1)/(6n − 1)，于是 A = 203、B = 2999；2999 是质数且除不尽 203，所以两数互质。

分数规律题：由 2/3、5/8、8/13 求 X 与 Y 的最大公约数

最大公约数是 2。分子按 3n − 1、分母按 5n − 2 的规律走，解出 X = 152、Y = 2498，再分解成 152 = 2³ × 19 和 2498 = 2 × 1249，公共部分只有一个 2。

求 p = 3³×5⁴×7⁵×11 与 q = 3×5³×7⁴ 的最大公约数

最大公约数是 3 × 5³ × 7⁴。两数已是质数幂的乘积，不必乘开：对每个质数取指数较小的那个即可。11 只在 p 里出现，指数取 0，因此完全不进入结果。

各位数字互不相同、且 9A 的数字和为 81 的自然数 A 有多少个

答案是 512 个。把 9A 写成 10A − A，做竖式减法时每借一次位数字和就减少 9，于是数字和 81 等价于恰好借位 9 次，从而 A 只能是 9 位或 10 位数，枚举后得 1 + 511 = 512。

三段 3/4 英寸接起来能切出几块 3/16 英寸？分数除法应用题

三块 3/4 英寸接起来是 9/4 英寸，9/4 ÷ 3/16 = 12 块。讲清为什么「能装下几个」是一道除法题，以及分数除法为什么要乘倒数。

5 到 200 中能被 2 或 5 整除的整数有多少个

答案是 118 个。用容斥原理：2 的倍数 98 个、5 的倍数 40 个、10 的倍数 20 个，98 + 40 − 20 = 118。文中还用补集（末位是 1、3、7、9 的数）做了一次交叉验证。

1,500 美元月度预算的 25% 用于食品是多少钱

答案是 375 美元。把 25% 化成小数 0.25 再乘以 1,500 得到 375，这和直接取收入的四分之一是同一回事。

微克换算成毫升：已知药物浓度求注射体积

患者需要 180 微克药物，药物浓度是每 5 cc 含 2.0 毫克。先把单位统一，再用量纲分析（单位约分）算出应注射 0.45 毫升。

求 399x + 188y = 3570 的全部整数解

答案是 x = 98 + 188k，y = −189 − 399k。流传很广的特解 (18, −19) 是错的：代回去只得 3610，因为 25854 除以 188 的余数是 98 而不是 18。

能被 15 整除的最大六位回文数是多少？答案 597795

答案是 597795 = 15 × 39853。被 5 整除决定了首位只能是 5，被 3 整除的数位和条件再决定中间两位最大能取到多少。

能被 45 整除的最大六位回文数是多少

答案是 594495 = 45 × 13211。六位回文数形如 abccba，被 5 整除迫使首位 a = 5，被 9 整除给出 b + c 除以 9 余 4，再从高位起取最大即得 b = 9、c = 4。

64 cm × 36 cm 剪成同样大的正方形，边长最大是多少

最大边长是 4 cm，也就是 64 和 36 的最大公约数，整张纸正好剪成 16 × 9 = 144 个。顺带说清为什么正方形越大、块数反而越少。

三位数减去反序数等于 396，最大的这个数是 995

答案是 995，因为 995 − 599 = 396。写成 100a + 10b + c 相减后十位数字 b 完全抵消，得 99(a − c) = 396，即 a − c = 4；要最大就取 a = 9，于是 c = 5，而 b 不受限制可取 9。

带分数 10 又 2/3 怎么化成假分数

结果是 32/3。带分数其实是个加法：10 + 2/3。每个整数单位等于 3 个 1/3，10 个整数就是 30 个 1/3，再加上原有的 2 个，共 32 个 1/3，分母始终不变仍是 3。

把带分数 13 又 3/10 化成假分数：乘、加、分母不变

答案是 133/10。用整数部分 13 乘分母 10 得 130，再加上分子 3，分母仍旧写 10。写成小数就是 13.3。

把带分数 17 又 8 分之 3 化成假分数

结果是 139/8。带分数其实是一个加法：17 个整数每个都等于 8 个八分之一，所以 17 × 8 = 136，再加上原有的 3 得 139，分母保持 8 不变，最后用除法回推验证。

把带分数 2 又 2/3 化成假分数

答案是 8/3。带分数其实是 2 + 2/3；先用整数部分乘分母，2 × 3 = 6，得到 6 个三分之一，再加上分子 2 共 8 个，分母保持 3 不变。

把带分数 20 又 1/2 化成假分数：先乘再加，分母不变

答案是 41/2。用整数部分乘分母（20 × 2 = 40），再加上分子得到 41，分母仍然写 2；验算一下 41/2 = 20.5，正好对上。

把带分数 4 又 2/3 化成假分数：先乘后加

答案是 14/3。用整数部分乘分母（4 × 3 = 12），加上分子得 14，分母仍旧是 3，因为 14/3 = 4.666666666666667。

带分数 6 又 1/3 化成假分数 = 19/3

结果是 19/3。带分数 6 又 1/3 其实就是 6 + 1/3：用整数部分 6 乘分母 3 得到 18 个三分之一，再加上分子 1 得 19，分母保持 3 不变，口诀是「分母乘整数再加分子」。反过来 19 ÷ 3 = 6 余 1，正好还原，19/3 ≈ 6.3333。

把 6 又 7/12 化成假分数：整数乘分母再加分子

答案是 79/12。用整数部分乘分母（6 × 12 = 72），再加上分子得 79，分母保持 12 不变；验算一下 79/12 = 6.583333333333333。

把带分数 9 又 7 分之 2 化成假分数

9 又 7 分之 2 等于 65/7。带分数其实是 9 + 2/7 这个和，把 9 个整数换算成 63 个七分之一再加上 2 个，分母仍是 7；因为 7 是质数，65/7 自动就是最简形式。

带分数运算：5 又 3/7 − 9 又 1/3 + (−3 又 13/35) 怎么算

答案是 −764/105，即 −7 又 29/105。先把三个带分数都化成假分数，再通分到最小公分母 105，最后一次性把分子合并。

通分计算 5 又 3/7 − 9 又 1/5 + (−3 又 13/35)

结果是 −50/7，即 −7 又 1/7。先化成假分数 38/7、46/5、118/35，再统一通分到 35，最后合并 190 − 322 − 118 = −250。

54 名男生和 48 名女生最多能分成多少组

答案是 6 组，每组 9 名男生、8 名女生。组数必须同时整除 54 和 48，也就是求最大公约数：54 = 2×3³，48 = 2⁴×3，对公共质因数取较小指数得 gcd = 6。

用 1 − 0.08 的凑整技巧算 0.92 × 1.4994

答案是 1.379448。把 0.92 写成 1 − 0.08，乘积就等于 1.4994 减去 0.119952——一次简单乘法加一次减法，替掉了四位数的竖式乘法。

把 26 拆成 20 + 6 来计算 26 × 9.175

乘积正好是 238.55。用分配律得 9.175 × 20 = 183.5 与 9.175 × 6 = 55.05，两个部分积相加就是 238.55。

计算 0.05 × 0.8 ÷ 1.666…（除数是循环小数）

结果是 3/125，即 0.024。先把循环小数 1.666… 化成分数 5/3，两个有限小数化成 1/20 和 4/5，再按分数乘除计算；如果先把它四舍五入成 1.67，答案在第四位小数上就错了。

计算 (−1/5) × (−25/13) × (26/45)：两个负号相乘得 2/9

乘积是 2/9。负因数个数是偶数，结果为正；先用 25 约 5、26 约 13，再用剩下的 5 约 45，最后相乘。

计算 (−3/4) × (12/(−5)) × (−25/6)：先定符号再约分

结果是 −15/2 = −7.5。负因数有三个，奇数个负号所以积为负；确定符号后只算绝对值，交叉约分得 15/2，再把负号接回去，最后用未约分的 900/120 复核。

多重括号与分数幂的混合运算顺序

结果是 3/4。由内向外算：两个立方相除得 1/8，零次幂等于 1 使方括号恰好等于 1；平方后除以 7/8 得 8/7，减去 1/7 得 1，最后除以 4/5 再减 1/2。

繁分数化简：分子为 7(4−3)/5 减 (2(2−8)−3(8+1))/15，整体再除以 3

结果是 4/3。从最里层括号往外算：第一项是 7/5，第二项的分子是 −39，约分后为 −13/5；减去一个负数相当于加，两项通分母都是 5，得 20/5 = 4，再除以外层的 3。

求 24 与 44 之间能被 5 整除、除以 7 余 2 的数

答案是 30。范围内 5 的倍数只有 25、30、35、40，逐个用 7 去除，只有 30 余 2。

求 8.64 除以 1.49 的算术平方根的六分之一

(1/6)·√(8.64/1.49) = 2√894/149 ≈ 0.4013。先把根号里的分数约成 864/149 ≈ 5.798658，开方得 2.40804，最后再除以 6。

用最小公分母 90 把 7/3、2/5、15/9、21/18 从大到小排序

通分成九十分之几后分别是 210/90、36/90、150/90、105/90，所以从大到小的顺序是 7/3 > 15/9 > 21/18 > 2/5。

按运算顺序化简 7² − 72 ÷ 6² × 9 − 6：乘除同级从左往右

结果是 25。先算乘方得 49 − 72 ÷ 36 × 9 − 6；乘除是同一级，要按出现顺序从左往右做，先算 72 ÷ 36 = 2 再乘 9 得 18，若先算 36 × 9 答案就完全错了。

按运算顺序化简 (13 × 2 − 5²) / [3² − (−4)]²

结果是 1/169。分子上乘方要先于减法；括号里的运算必须做完再平方：9 − (−4) = 13，13 的平方是 169。

计算 (1/4)²÷(1/4)² + (1/2)² + 4/3 − (4/3)³÷(4/3)² − 1/2

答案是 3/4。同底自除得 1，同底幂相除还原成 4/3，正好与单独那个 4/3 抵消，最后只剩 1 + 1/4 − 1/2。

分数混合运算：零次幂、括号里的平方差与除法的顺序

结果是 17/18。先算 (1/2) 的 0 次幂等于 1；括号内先减后平方得 5/4 和 3/4，平方差为 1；再除以 9/4 得 4/9，最后 1 + 4/9 − 1/2 通分到 18。

(2/3+2/6) + [(3/5−1/10)²÷(1−1/3)²] − 1 − 5/16 = 1/4

结果是 1/4。第一项 2/3 + 2/6 恰好等于 1，零指数幂也是 1，两者相消；中括号里 (1/2)² ÷ (2/3)² = 9/16，同底数幂相除只需指数相减得 5/16，最后 9/16 − 5/16 = 1/4。

分数幂与括号的混合运算：两个方括号相乘

结果是 1。第一个方括号用同底数幂相除法则得 (1/2) 的 −1 次方，也就是 2；第二个方括号里先算出 1 − 5/9 = 4/9，于是两个完全相同的平方相除得 1，3/2 − 1 = 1/2，最后 2 × 1/2 = 1。

有理数混合运算：−2×(−4)−(−4)+3−(−3)×5 怎么算

结果是 30。没有括号要展开也没有乘方，所以先做两个乘法得 +8 和 −15，代回时要连同前面的符号一起带上；再把「减去负数」逐个改写成加法，得 8 + 4 + 3 + 15，从左往右相加即可。

打八折后 4 个包共 6,400 泰铢，求每个包的原价

原价是每个 2,000 泰铢。6,400 是 4 个包的总价，所以每个的售价是 1,600，而它相当于原价的 80%，用 1600 除以 0.80 即可。

5 双鞋打九折共 4500 泰铢，每双鞋原价是多少

每双原价 1000 泰铢。先把总价除以 5 得到每双的折后价 900，再由「打九折即付原价的 90%」列方程 0.9x = 900；文末提醒折后价再加 10% 回不到原价，逆运算是除以 0.90。

6 块手表打 15% 折后共 10,200 泰铢，一块原价多少

答案是每块 2000 泰铢。先把总价除以 6 得到单块折后价 1700，再由“折后价是原价的 85%”列出 (17/20)x = 1700。注意给折后价加回 15% 并不能还原，正确做法是除以 0.85。

8 件衬衫打 25% 折扣共 9,600 泰铢，每件原价是多少

每件原价是 1,600 泰铢。打折后每件卖 1,200，而 1,200 是原价的四分之三，所以要乘 4/3（即除以 0.75），而不是在 1,200 上再加 25%。

降价 20% 后要涨价百分之几才回到原价？答案是 25%

折后价要上调 25% 才能回到原价，而不是 20%，因为涨价是拿打折后更小的基数 80 来算的，不再是 100。

16.786 涨到 18.588 是增长了百分之多少：分步算法

增长率为 10.74%（未四舍五入前是 10.735%）。先作差得到涨幅 1.802，再除以原值 16.786，最后乘 100——除的是原价，不是新价。

行程时间从 10 小时降到 8 小时：速度提高的是 25%，不是 20%

路程固定时速度与时间成反比。新速度 S/8 比旧速度 S/10，比值 10/8 = 1.25，所以速度提高了 25%。时间降幅和速度增幅的基数不同，这正是易错点。

676 的质因数分解：用试除法得到 676 = 2² × 13²

分解结果是 676 = 2² × 13²。连着除以 2 两次得到 169，而 169 就是 13²，两个指数都是偶数，所以 676 本身是完全平方数，等于 26²。

1676 的质因数分解：为什么 419 是质数

1676 = 2² × 419。连除两次 2 之后剩下 419，再用不超过 √419 ≈ 20.47 的每个质数试除都除不尽，所以 419 本身就是质数。

用立方差公式证明 369³ − 219³ 能被 1350 整除

369³ − 219³ = 39 739 950 = 1350 × 29 437。分解后得 150 × 264 933，而 264 933 能被 9 整除，正好补上 1350 里还缺的那个因数 9。

循环小数化分数加分数指数幂化简：结果是 19/88 和 8/125

两个式子分别等于 19/88 和 8/125。先把 0.333… 化成 1/3、2.133… 化成 32/15，再用同底数幂相乘把 3^(1/2)·3^(1/2) 并成 3，最后处理负分数指数。

把 −2 − 9 改写成加法，数字一个都不动

加法形式是 −2 + (−9)。减去 9 就等于加上它的相反数，所以运算变成加号，9 前面则多出一个负号。

不改数字把 −20 − (−6) 改写成加法：−20 + 6

加法形式是 −20 + 6。减去一个数就等于加上它的相反数，所以运算符号和第二个数的符号要同时翻转，而打头的 −20 保持不变。

把 3.6 四舍五入到整数：答案是 4，一步一步讲清

答案是 4。3.6 往上到 4 只差 0.4，往下到 3 却差 0.6，所以 4 才是更近的那个整数，四舍五入就取它。

海龟上升又下降 165 米后的位置是 −850 米，净变化为 0 米

海龟最终位于 −850 米，位置的净变化是 0 米。按正负数运算 −850 + 165 − 165 = −850，所以「位置」和「变化量」是两个不同的答案。

能同时剪成 9 cm 和 12 cm 整段的最短丝带是 36 cm

答案是 36 cm。「两种剪法都不剩余」说明长度是公倍数，「最短」则说明它是最小公倍数，用质因数分解即可求出。

2 ÷ √2 化简结果是 √2：分母有理化

2 / √2 = √2 = 1.41421。根指数为 2 的根式就是普通平方根，分子分母同乘 √2 即可把分母上的根号去掉。

把分数 3/9 约成最简分数 1/3

答案是 1/3。3 和 9 的最大公约数是 3，分子分母同时除以它之后就再也约不动了。文中还用交叉相乘和小数 0.333… 两种方式做了验算。

5554/1024 约分成 2777/512，等于 5.423828125

答案是 2777/512，也就是带分数 5 又 217/512，精确等于 5.423828125。因为 2777 是奇数，只能约掉一个 2，约分到这里就到底了。

化简 √198：结果是 3√22，约等于 14.0712

化简结果是 3√22，约 14.0712。因为 198 = 9 × 22，而 22 = 2 × 11 不含平方因数，所以只有因数 9 能开出根号。

化简 √63 得 3√7，约等于 7.93725

√63 = 3√7 ≈ 7.93725。因为 63 = 9 × 7 而 9 是完全平方数，3 可以开到根号外面，剩下不含平方因子的 7 只能留在根号里。最后用数值和估算两次验证。

根号 72 化简成 6√2 的完整步骤

√72 的最简形式是 6√2，约等于 8.4853。把 72 拆成 36 × 2，其中 36 是最大的完全平方因数，再把 √36 = 6 提到根号外面。

6 个连续奇数都能被 3、5、7 或 11 整除：最大数除以 11 的余数可以是 4

一个可能的余数是 4。115 到 125 这一串就满足条件，最大的 125 除以 11 得 125 − 121 = 4；除此之外唯一可能的余数是 6。

化简 5 − 7、−4 − (−8) 等六个有理数减法

六个答案依次是 −2、0、1、10、4、−5。把每个减法都改写成「加上相反数」，六道题就全变成加法，在数轴上一读就出来。

各位数字不同、减去反序数得 396 的最小三位数是 410

答案是 410。展开后差为 99(a−c)，十位数字自动抵消，条件迫使首位比末位大 4；要最小就取 a = 4、c = 0，十位取还没用过的最小数字 b = 1。

减去反序数等于 693 的最小三位数是 710

答案是 710。这个差总等于 99(a − c)，所以 693 迫使 a − c = 7；取 a = 7、c = 0，再取最小的合法 b = 1，就得到 710。

解 (19x + 83) ÷ 7 = 8² − 5²，得 x = 10

答案：x = 10。右边先算成 64 − 25 = 39，两边乘回 7 得 19x + 83 = 273，减 83 得 19x = 190，再除以 19。用平方差 (8−5)(8+5) = 39 算右边更快。

用同底数幂相除解 (25 + x) ÷ 3 = 3¹⁴ ÷ 3¹²，得 x = 2

答案是 x = 2。指数相减把右边化成 3² = 9，两边乘回 3 得 25 + x = 27，再减去 25 - 全程完全不必把 3¹⁴ 算出来。

不展开幂就解出 3¹⁵ ÷ (125 − 4x) = 3¹³，得 x = 29

答案是 x = 29。把括号看成未知的除数：它必须等于 3¹⁵/3¹³ = 3² = 9，于是 125 − 4x = 9，得 4x = 116，最后 x = 116/4 = 29。

解 54 ÷ (x − 7) = 5² − 4²：未知数在除数上，答案 x = 13

答案：x = 13。右边是 25 − 16 = 9，所以 x − 7 必须等于 54 ÷ 9 = 6；因为未知数在除数位置上，这一步要做除法而不是乘法，弄反会得到 486。

约掉 6⁸ 解 (5x + 3⁴) × 6⁸ = 6⁹ × 3⁴，得 x = 81

答案：x = 81。两边同除以 6⁸ 得 5x + 81 = 6 × 81 = 486；只有 6 的幂能约掉，因为 3⁴ 在左边被关在括号里，在右边却是独立因子。

解 (X − 40.354/14.4) × 3562/3600 = 148590.568/51840，得 X ≈ 5.699270

X = 73082879/12823200 ≈ 5.699270。右边先算成 2.8663304，再除以 3562/3600 = 0.9894444，最后加回 40.354/14.4 = 2.8023611，就还原出 X。

解 x mod 7 = 6：所有余数为 6 的整数即 x = 7k + 6

答案是 x = 7k + 6（k 取任意整数），也就是 6、13、20、27……。余数条件有无穷多个解，相邻两解正好相差 7，所以任何一个具体数字都不能算作答案。

解 x + 0.09x = 1407198 去掉 9% 加成，x ≈ 1,291,007.34

答案是 x ≈ 1,291,007.34，而不是流传的 1,291,008.26。提取公因式得 1.09x = 1407198，再作除法 —— 这就是从含税总额还原税前金额的标准做法。

把 960 克按 4 : 1 分配：4 份的那部分是 768 克，1 份的是 192 克

占 4 份的那部分是 768 克，占 1 份的是 192 克。先把比的两项相加得到 5 份，用 960 除以 5 得每份 192 克，再乘 4 就是答案。

用夹逼法求 1595.69 的平方根，约等于 39.9461

答案约为 39.9461。正确的夹逼区间是 39.94 到 39.95，因为 39.94² = 1595.2036、39.95² = 1596.0025 —— 不是常被误抄的 1595.0025。这个数是无理数，没有精确小数。

用牛顿法求 2706.225166081663 的平方根，得 52.021391

平方根精确到六位小数是 52.021391。先用 52² = 2704 与 53² = 2809 夹住，再从 52 出发做两次牛顿迭代，就收敛到了足够的精度。

400 的平方根为什么是 20：用质因数分解 2⁴ × 5² 求算术平方根

答案：√400 = 20，因为 20 × 20 = 400。把 400 拆成 2⁴ × 5²，质因数正好两两成对；另外根号符号永远只表示非负的那个根。

−8.4 − (−2.65) = −5.75：减负数就是加正数

−8.4 − (−2.65) = −5.75。连着两个负号变成加号，再用绝对值大的减去绝对值小的，符号跟着绝对值大的那个走。

(145.17 − 76.3006) − 48.164 竖式计算详解：结果是 20.7054

先把每个数补齐到四位小数，数位才对得整齐：145.1700 − 76.3006 = 68.8694，再算 68.8694 − 48.1640 = 20.7054。

公比 1.25 的等比数列前 10 项和约为 0.00202843

答案约为 0.00202843。先把首项提出来，再用 S = (rⁿ − 1)/(r − 1)；r = 1.25 时分母是 0.25，除以它就等于乘 4，算起来更干净。

数字和与 A + 4 的数字和都被 5 整除的三位数：357、366、389

357、366 和 389 都符合要求。加 4 时个位必须发生进位：进位让数字和净变 +4 −10 +1 = −5，只有这样它才仍是 5 的倍数；不进位就只是加 4。

A 与 A + 6 的数字和都被 12 整除的三位数：699、798、897

699、798、897 都符合要求。它们的数字和都是 24；加 6 时连续进位，使数字和每进一位就减少 9，最后剩下 12，仍是 12 的倍数。

A 与 A+2 的数字和都被 4 整除的三位数：只有 299 和 398

符合条件的只有 299 和 398。不进位地加 2 会让数字和增加 2，从而破坏被 4 整除，所以个位必须是 8 或 9。

数字和与 A+3 的数字和都被 6 整除的三位数：369、378、387

369、378、387 都符合。加 3 必须发生进位，因为不进位时数字和只会增加 3，永远不可能仍是 6 的倍数。

十位是 0、交换两位数字后变大 198 的三位数是 406

这个数是 406。两个条件 2a = c + 2 与 c − a = 2 构成一个小方程组，解得 a = 4、c = 6，即 406，而 604 − 406 恰好是 198。

三位密码：各位互不相同、和为 10 且首位比第二位大 2，答案是 5-3-2

密码是 5-3-2。四个选项里只有它三位数字互不相同、首位比第二位大 2，并且三位数字之和等于 10。

平方十米换算成平方米后算两块工厂用地：地价 1,243,656,000 F，成本价 1,368,656,000 F

土地总价是 1,243,656,000 F，再加上 125,000,000 F 的建筑费，成本价为 1,368,656,000 F。关键一步是 1 平方十米 = 100 平方米，而不是 10 平方米。

数字和为 7、且是两位数字之差 43 倍的两位数是 43

这个数是 43。把它写成 10a + b，第二个条件化为 10a + b = 43(a − b)，整理得 4b = 3a，两个数字只能是 4 和 3。

四个集合求 A∪B、B∪C、C∪D、A∩B、C∩D 和 D∩A

并集把每个元素只收录一次，交集只保留共有的元素。这里 A∩B = {5}，C∩D = {3,9}，D∩A = {2}，三个并集分别有 7、8、9 个元素。

集合 {5, 6, 8, 9} 与 {5, 7, 8} 的并集是 {5, 6, 7, 8, 9}

并集是 {5, 6, 7, 8, 9}。把属于其中任一集合的元素都收进来，每个只写一次；5 和 8 两个集合都有，但只写一遍。

三人出钱一样多却分得不一样，退款 144 求每瓶单价

每瓶 24。分得最少的那个人比公平的三分之一份额少了 6 瓶，而 144 这笔补偿恰好就补这 6 瓶，所以 144 ÷ 6 = 24。

把 0.0000000121 写成科学记数法 1.21×10⁻⁸ 与百分数 0.00000121%

0.0000000121 = 1.21×10⁻⁸ = 0.00000121%，约相当于 8262 万分之一。小数点向右移八位，得到有效数字 1.21。

把 167/42 化成最简带分数：结果是 3 又 41/42

答案是 3 又 41/42。因为 167 是质数，与 42 没有公因数，所以这个分数约不了；相除得商 3、余数 41。

把 5,730,000,000,000,000 写成科学记数法：5.73 × 10¹⁵

答案是 5.73 × 10¹⁵。把小数点放到第一个非零数字后面，再数它一共向左移了 15 位；大数对应的指数是正的。

把 99 写成三个因数的乘积：99 = 3 × 3 × 11

答案是 99 = 3 × 3 × 11。依次用最小的质数去除：99 先拆成 9 × 11，9 再拆成 3 × 3，此时三个因数都是质数。

把 −0.0000000463 写成科学记数法：逐步得到 −4.63 × 10⁻⁸

答案是 −4.63 × 10⁻⁸。小数点要向右移 8 位才能得到 4.63，因此指数必须是负的，而前面的负号自始至终不参与运算。

把 −3.00008 × 10⁹ 写成不含指数的十进制数：−3,000,080,000

十进制形式是 −3,000,080,000。九次移位中有五次用掉了 3.00008 本身的数字，剩下四次要补零占位。

把 −4.34 × 10⁻² 写成不带指数的小数：−0.0434

小数形式是 −0.0434。指数 −2 为负，小数点向左移两位；而 4.34 前面那个负号原样保留，不参与运算。

把 −6.00009×10⁷ 写成不带指数的小数形式：−60,000,900

小数形式是 −60,000,900。小数点向右移七位，6.00009 中间的那些零必须全部照搬过去，之后再补上末尾的占位零。

把 −7.71 × 10⁴ 写成不带指数的小数形式：−77,100

小数形式是 −77,100。指数 4 是正的，小数点向右移四位，数字 771 后面要补两个零把空位填满。