求 0.000061 + 0.000061(1.25) + 0.000061(1.25)² + … + 0.000061(1.25)⁹ 的和。

Step-by-step solution

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   先认出结构。 每一项都是前一项乘以 $1.25$，所以这是一个等比数列求和。读出各参数：首项 $a=0.000061$，公比 $r=1.25$；指数从 $0$ 数到 $9$，共有 $n=10$ 项。把 $n$ 数成 $9$ 是最常见的坑。

2. 2

   把公共的首项提出来。

   $0.000061\left(1+1.25+1.25^{2}+\cdots+1.25^{9}\right)$

   这样括号里就是首项为 $1$ 的干净数列，只需对括号用公式。

3. 3

   套用等比数列前 n 项和公式。 当 $r\neq1$ 时，

   $S_{n}=\frac{r^{n}-1}{r-1}=\frac{1.25^{10}-1}{1.25-1}=\frac{1.25^{10}-1}{0.25}=4\left(1.25^{10}-1\right)$

   除以 $0.25$ 就等于乘以 $4$ —— 这一步化简能让计算保持精确。

4. 4

   算出这个幂。 因为 $1.25=\tfrac54$，

   $1.25^{10}=\frac{5^{10}}{4^{10}}=\frac{9\,765\,625}{1\,048\,576}=9.313225746\ldots$

   于是括号的值是 $4(9.313225746-1)=4(8.313225746)=33.252902984$。

5. 5

   再乘首项——这一步要小心。

   $0.000061\times33.252902984=0.0020284271$

   整个计算改用精确分数做一遍，得到 $\dfrac{531\,739\,989}{262\,144\,000\,000}=0.00202842708\ldots$ ✓，与小数结果吻合。注意答案是 $0.0020284$ 而不是 $0.0020289$ —— 这里第四位有效数字很容易写错，一错结果就差了大约 $0.025\%$。

6. 6

   再估一下量级是否合理。 十项，每项大致 $0.0002$ 上下，总和应该在 $0.002$ 左右 ✓。增长倍数也对得上：末项是 $0.000061\times1.25^{9}\approx0.000455$，约为首项的 $7.5$ 倍——公比大于 $1$ 连乘九次，正该是这个量级。