求 p = 3³ × 5⁴ × 7⁵ × 11 与 q = 3 × 5³ × 7⁴ 的最大公约数，答案用指数形式表示。

Step-by-step solution

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   先注意到两个数已经分解好了。 $p$ 和 $q$ 一上来就是以质数幂乘积的形式给出的。这正是本题的便利所在：求最大公约数最费劲的一步 —— 把每个数分解成质因数 —— 已经替你做完了，所以千万不要把它们乘开。光 $p$ 一个就等于 $3^3\times5^4\times7^5\times11 = 3{,}119{,}799{,}375$，再把它分解回去纯属白费功夫。

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   回忆最大公约数的指数法则。 最大公约数是能同时整除两个数的最大的数。质数幂 $r^k$ 能整除 $p$，当且仅当 $k$ 不超过 $r$ 在 $p$ 中的指数；能整除 $q$，当且仅当 $k$ 不超过它在 $q$ 中的指数。所以对每个质数，取两个指数中较小的那个：

   $\text{最大公约数} = \prod_r r^{\min(a_r,\,b_r)}$

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   把各个质数并排列出来。 对出现过的每个质数，写下两个数各自的指数；某个数里没有这个质数时，指数记作 $0$：

   质数	在 $p$ 中	在 $q$ 中	较小者
   $3$	$3$	$1$	$1$
   $5$	$4$	$3$	$3$
   $7$	$5$	$4$	$4$
   $11$	$1$	$0$	$0$

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   质数 11 要格外小心。 这里是最常丢分的地方。$11$ 在 $p$ 里有、在 $q$ 里没有，所以它在 $q$ 中的指数是 $0$，$\min(1,0)=0$。而 $11^0=1$，因此因数 $11$ 完全不进入最大公约数 —— 只有一个数才有的质数，绝不可能出现在最大公约数里。

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   按指数形式写出答案。

   $\text{最大公约数}(p,q) = 3^1 \times 5^3 \times 7^4 = 3 \times 5^3 \times 7^4$

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   用除法检验。 乘出来是 $3\times125\times2401 = 900{,}375$。做除法：$q \div 900{,}375 = 1$ —— 其实有更简单的看法，$q = 3\times5^3\times7^4 = 900{,}375$ 恰好相等，所以最大公约数就是 $q$ 本身。这很合理，因为 $q$ 的每个指数都不超过 $p$ 中对应的指数，于是 $q$ 整除 $p$，而 $900{,}375$ 同时整除两者。