设 A = {2, 4, 5, 6}，B = {1, 3, 5, 7}，C = {3, 4, 6, 9, 10}，D = {1, 2, 3, 7, 8, 9}。求 A ∪ B、B ∪ C、C ∪ D、A ∩ B、C ∩ D 和 D ∩ A。

Step-by-step solution

1. 1

   动笔之前先把两个定义钉死。 $A\cup B$（「并集」）包含在 $A$ 或 $B$ 或两者中出现的每一个元素，每个只列一次。$A\cap B$（「交集」）只包含同时属于两者的元素。一个可靠的习惯是把答案按从小到大写，这样漏了元素或者重复写了元素都一眼能看出来。

2. 2

   先求三个并集。 把两张列表合并，再删掉重复的：

   $A\cup B=\{1,2,3,4,5,6,7\}$

   $B\cup C=\{1,3,4,5,6,7,9,10\}$

   $C\cup D=\{1,2,3,4,6,7,8,9,10\}$

   注意 $5$ 在 $A$ 和 $B$ 里都出现，但在 $A\cup B$ 中只写一次。

3. 3

   求 A ∩ B。 拿 $A=\{2,4,5,6\}$ 逐个去 $B=\{1,3,5,7\}$ 里比对：只有 $5$ 同时出现在两边。

   $A\cap B=\{5\}$

4. 4

   求 C ∩ D。 $C=\{3,4,6,9,10\}$ 与 $D=\{1,2,3,7,8,9\}$ 共有 $3$ 和 $9$。

   $C\cap D=\{3,9\}$

5. 5

   求 D ∩ A。 $D=\{1,2,3,7,8,9\}$ 与 $A=\{2,4,5,6\}$ 只共有 $2$。交集满足交换律，所以 $D\cap A=A\cap D$。

   $D\cap A=\{2\}$

   $\boxed{A\cup B=\{1,\ldots,7\},\ B\cup C=\{1,3,4,5,6,7,9,10\},\ C\cup D=\{1,2,3,4,6,7,8,9,10\},\ A\cap B=\{5\},\ C\cap D=\{3,9\},\ D\cap A=\{2\}}$

6. 6

   用计数恒等式逐对检验。 $|X\cup Y|=|X|+|Y|-|X\cap Y|$。对 $A$ 与 $B$：$4+4-1=7$ ✓。对 $C$ 与 $D$：$5+6-2=9$ ✓。对 $B$ 与 $C$：$|B\cap C|=|\{3\}|=1$，故 $4+5-1=8$ ✓。三个并集的元素个数都与预测吻合。