求 (216 × 6⁻⁵)³ × (36⁻²)⁻¹ 的值。

Step-by-step solution

1. 1

   把每个数都化成同一个底数的幂。 出现的数全都是 $6$ 的幂：

   $216=6^{3},\qquad 36=6^{2}$

   底数一旦统一，剩下的只是指数的加减乘——全程都不用算出任何大数。

2. 2

   先化简第一个括号里的部分。 同底数幂相乘，指数相加：

   $216\cdot 6^{-5}=6^{3}\cdot 6^{-5}=6^{3-5}=6^{-2}$

3. 3

   再取三次方。 幂的乘方，指数相乘：

   $\left(6^{-2}\right)^{3}=6^{-6}$

4. 4

   化简第二个因子。 两层指数同样是相乘，两个负号相乘得正：

   $\left(36^{-2}\right)^{-1}=36^{2}=\left(6^{2}\right)^{2}=6^{4}$

5. 5

   把两个结果相乘。

   $6^{-6}\cdot 6^{4}=6^{-2}=\frac{1}{6^{2}}=\frac{1}{36}$

   $\boxed{\dfrac{1}{36}}$

6. 6

   数值检验。 $216\cdot 6^{-5}=\tfrac{216}{7776}=\tfrac{1}{36}$；立方得 $\tfrac{1}{46656}$；而 $\left(36^{-2}\right)^{-1}=1296$。于是 $\tfrac{1296}{46656}=\tfrac{1}{36}$ ✓——答案一样，但中间的数大得多，这正是走统一底数那条路更划算的原因。