求这样一个两位数：它的两个数字之和等于 7，且它的十位数字减去个位数字所得的差比这个数本身小 43 倍。

Step-by-step solution

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   给两个数字取名，并把这个数按位值展开。 设 $a$ 为十位数字、$b$ 为个位数字，其中 $1\le a\le 9$、$0\le b\le 9$。这个数本身是

   $N=10a+b,$

   而不是 $ab$ —— 正是这个展开，把一道数字谜题变成了普通的代数题。

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   把两句话分别翻译成方程。 数字和给出 $a+b=7$。「差 $a-b$ 比 $N$ 小 $43$ 倍」的意思是 $N$ 是这个差的 $43$ 倍：

   $10a+b=43(a-b).$

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   化简第二个方程。

   $10a+b=43a-43b\ \Longrightarrow\ 44b=33a\ \Longrightarrow\ 4b=3a.$

   约掉公因数 $11$ 之后，这层关系才看得明白：两个数字之比是 $a:b=4:3$。

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   与数字和的条件联立。 由 $4b=3a$ 得 $a=\tfrac{4b}{3}$，代入 $a+b=7$：

   $\frac{4b}{3}+b=7\ \Longrightarrow\ \frac{7b}{3}=7\ \Longrightarrow\ b=3,\qquad a=4.$

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   拼出这个数并检验。 这个数是 $N=10(4)+3=43$。两个条件都验一遍：数字和是 $4+3=7$；数字之差是 $4-3=1$，而 $43\div 1=43$，所以这个差确实比原数小 $43$ 倍。把所有两位数穷举一遍，可以确认 $43$ 是唯一解。