证明：369^3 - 219^3 能被 1350 整除。

Step-by-step solution

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   别急着算乘方，先用立方差公式分解。 取 $a^3-b^3=(a-b)\left(a^2+ab+b^2\right)$，令 $a=369$、$b=219$：

   $369^3-219^3=(369-219)\left(369^2+369\cdot 219+219^2\right)=150\left(369^2+369\cdot 219+219^2\right)$

   第一个因子已经贡献了 $1350$ 中的一大块。

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   把 $150$ 和目标 $1350$ 比一比。 由于

   $1350=150\cdot 9$

   整个证明就归结为一件事：说明第二个因子能被 $9$ 整除。正是这样重新表述目标，才把一次大计算变成了一次小计算。

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   说明第二个因子是 9 的倍数。 $369$ 和 $219$ 都能被 $3$ 整除：$369=3\cdot 123$，$219=3\cdot 73$。因此 $369^2+369\cdot 219+219^2$ 中的每一项都含有因数 $3^2=9$：

   $369^2+369\cdot 219+219^2=9\left(123^2+123\cdot 73+73^2\right)$

   于是第二个因子就是 $9$ 乘以一个整数，全程不必真的算出任何数值。

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   把结论拼起来。

   $369^3-219^3=150\cdot 9\left(123^2+123\cdot 73+73^2\right)=1350\left(123^2+123\cdot 73+73^2\right)$

   它是 $1350$ 乘以一个整数，整除性得证。

5. 5

   用实际数字确认一遍。 括号里的和是 $15129+8979+5329=29437$，所以

   $369^3-219^3=1350\cdot 29437=39\,739\,950$

   直接计算也吻合：$369^3=50\,243\,409$，$219^3=10\,503\,459$，两者之差正是 $39\,739\,950\;\checkmark$，而且 $39\,739\,950\div 1350=29\,437$ 除得尽。