计算 32² − 28²。

Step-by-step solution

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   先看结构，别急着按计算器。 这个式子就是"一个平方减另一个平方"，正是下面这个恒等式的左边：

   $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$

   这里 $a=32$、$b=28$。用了公式之后，两次三位数级别的平方运算（$1024$ 和 $784$）就被换成了一次减法、一次加法和一次很好算的乘法。

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   算出两个因式。

   $a-b=32-28=4,\qquad a+b=32+28=60$

   两数相差很小，因为它们本来就挨得近——这恰恰是这个技巧最划算的场合。

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   相乘。

   $32^{2}-28^{2}=4\times60=240$

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   用笨办法验算一遍。 $32^{2}=1024$，$28^{2}=784$，所以 $1024-784=240$ ✓。两条路都是整数精确运算，不存在四舍五入的问题。

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   想清楚这个技巧什么时候通用。 只要 $a,b$ 奇偶相同，$a^{2}-b^{2}$ 里的 $a-b$ 就是偶数——这里是 $4\times60$，心算即可。同样的办法能把 $101^{2}-99^{2}$ 瞬间变成 $2\times200=400$，而硬算则要处理两个四位数的平方。