求一个三位数 A，使得 A 的各位数字之和能被 6 整除，A + 3 的各位数字之和也能被 6 整除，且 350 < A < 400。

Step-by-step solution

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   先定下这个数的形式。 由 $350<A<400$ 知百位数字是 $3$，所以 $A=\overline{3ab}$，其中 $a\in\{5,6,7,8,9\}$，数字和 $S=3+a+b$。

2. 2

   弄清楚加 3 会让数字和怎么变。 只有两种情况：

   • 不进位（$b\le 6$）：个位加 $3$，于是 $S\to S+3$。
   • 进位（$b\ge 7$）：个位减少 $7$、十位加 $1$，于是 $S\to S+3-10+1=S-6$。
3. 3

   排除不进位的情况。 若 $6\mid S$，则 $S+3$ 除以 $6$ 的余数是 $3$，永远不会是 $0$。所以必须进位，即

   $b\in\{7,8,9\}.$

   进位时 $S\to S-6$，只要 $S$ 是 $6$ 的倍数，它就自动也是——第二个条件就白送了。

4. 4

   加上数字和的条件。 要求 $3+a+b\equiv 0\pmod 6$，其中 $a\in\{5,\ldots,9\}$，$b\in\{7,8,9\}$。可行的组合是 $(a,b)=(6,9),(7,8),(8,7)$，每一组都给出 $S=18$。

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   写出答案并逐个检验。

   $369\to 3+6+9=18,\quad 372\to 3+7+2=12\ \checkmark$
   $378\to 18,\quad 381\to 12\ \checkmark$
   $387\to 18,\quad 390\to 12\ \checkmark$

   把 $351$ 到 $399$ 的每个整数都扫一遍，确认再没有别的解。