在一个 4×4 的表格里填数，使每一行、每一列以及两条对角线上四个数的和都相等。第一行是 −5、9、空、空；第二行是 空、0、1、空；第三行是 2、空、5、−1；第四行是 7、空、空、10。

Step-by-step solution

1. 1

   先找一条已经填满的线。 只要有一条线能直接求和，就没必要再去引入一个未知的幻和。主对角线 $-5,\,0,\,5,\,10$ 上没有空格，所以

   $S=-5+0+5+10=10$

   于是每一行、每一列和每条对角线的和都必须是 $10$。

2. 2

   填那些只剩一个空格的线。 第三行和第一列各只有一个未知数：

   $2+e+5+(-1)=10 \Rightarrow e=4,\qquad -5+c+2+7=10 \Rightarrow c=6$

   每填出一个数，又会解锁新的线，所以这道题是一格一格解开的，根本用不着联立方程组。

3. 3

   用新填出的数解锁更多的线。 有了 $e=4$，第二列就只剩一个空格：

   $9+0+4+f=10 \Rightarrow f=-3$

   接着第四行给出 $7+(-3)+g+10=10 \Rightarrow g=-4$，第二行给出 $6+0+1+d=10 \Rightarrow d=3$。

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   借助第三列补完第一行。 现在第三列是 $a,1,5,-4$：

   $a+1+5-4=10 \Rightarrow a=8$

   再由第一行得到 $-5+9+8+b=10 \Rightarrow b=-2$。

5. 5

   逐条验证每一条线，别忘了副对角线。 补全后的幻方是

   $\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline -5&9&8&-2\\\hline 6&0&1&3\\\hline 2&4&5&-1\\\hline 7&-3&-4&10\\\hline\end{array}$

   各行：$10,10,10,10$；各列：$10,10,10,10$；主对角线 $-5+0+5+10=10$；副对角线 $-2+1+4+7=10$。副对角线在整个推导过程中从未用过，所以它是一次真正独立的检验。